Выражение (12) позволяет находить скорость материальной точки
и ее ускорение при естественном способе задания движения:
~V
=
~τV
(
t
)
=
~e
x
F
0
y
−
~e
y
F
0
x
q
(
F
0
x
)
2
+
F
0
y
2
V
(
t
) ;
(13)
~a
=
˙
~V
(
t
)
=
d
dt
 
~e
x
F
0
y
−
~e
y
F
0
x
q
(
F
0
x
)
2
+
F
0
y
2
V
(
t
)
 
.
(14)
Вычисление кривизны плоской кривой, заданной неявно.
По-
лучим формулу [7] для вычисления радиуса кривизны траектории,
заданной уравнением (6) в точке с координатами
(
x, y
)
.
Применим для
этого только кинематический подход:
ρ
=
|
d~r
|
dϕ
=
(
F
0
x
)
2
+
F
0
y
2
3
2
F
0
y
2
F
0
xx
−
2
F
0
x
F
0
y
F
0
xy
+ (
F
0
x
)
2
F
0
yy
.
(15)
Воспользуемся выражением (12) для касательного вектора. Рассмот-
рим следующую модель. Пусть материальная точка движется вдоль
кривой с заранее заданной скоростью
V
(
t
)
=
α ~
r
F
(
t
)
,
(16)
где
α
—
размерный множитель.
Такой вид зависимости скорости от времени выбираем из со-
ображений удобства, поскольку в данном случае при сокращении на
величину
~
r
F
(
t
)
выражение для вектора скорости заметно упроща-
ется:
~V
(
t
)
=
~τV
(
t
)
=
α ~e
x
F
0
y
−
~e
y
F
0
x
.
(17)
Полное ускорение движения точки находим дифференцированием
выражения (17):
~a
=
˙
~V
(
t
)
=
α ~e
x
˙
F
0
y
−
~e
y
˙
F
0
x
;
a
2
=
|
~a
|
2
=
α
2
˙
F
0
y
2
+ ˙
F
0
x
2
=
α
2
~
r
˙
F
(
~r
(
t
))
2
.
(18)
Тангенциальное ускорение
a
τ
=
|
~a
τ
|
=
d
dt
~V
(
t
)
=
α
d
dt
~
r
F
=
α
~
r
F ~
r
˙
F
~
r
F
.
(19)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
149