Рис. 2. Представление траектории как векторной линии поля
d~r
=
~e
x
dx
1
+
~e
y
dx
2
:
dF
(
~r
)
=
dF
(
x
1
,
x
2
)
=
2
X
i
=1
∂F
(
~r
)
∂x
i
dx
i
=
d~r
∙
~
r
F
(
~r
)
,
где
~
r
F
(
~r
)
=
~e
x
∂F
(
~r
)
∂x
+
~e
y
∂F
(
~r
)
∂y
—
двумерный градиент функции
F
(
~r
)
.
Согласно равенству (8),
dF
(
~r
)
=
d~r
∙
~
r
F
(
~r
)
= 0
.
(9)
В координатном виде уравнение (9) примет вид
dx
∂F
(
~r
)
∂y
=
−
dy
∂F
(
~r
)
∂x
.
(10)
Сравнивая уравнение (7) с (10), получим компоненты векторного
поля
U
x
=
∂F
(
~r
)
∂y
≡
F
0
y
;
U
y
=
−
∂F
(
~r
)
∂x
≡ −
F
0
x
,
тогда
~U
=
~e
x
F
0
y
−
~e
y
F
0
x
или
~U
=
−
~e
x
F
0
y
+
~e
y
F
0
x
.
(11)
Отметим, что оба выражения (10) отличаются лишь знаками и со-
ответствуют различным направлениям движения точки вдоль ее тра-
ектории, поэтому выберем одно из них.
В соответствии с (11) легко получить выражение для касательного
вектора в точке с координатами
(
x, y
)
:
~τ
=
~e
x
F
0
y
−
~e
y
F
0
x
q
(
F
0
x
)
2
+
F
0
y
2
=
~e
x
F
0
y
−
~e
y
F
0
x
~
r
F
(
~r
)
.
(12)
148
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012