точки. В геометрическом подходе какая-либо модель не использует-
ся, здесь применяются только соотношения, известные из векторной
алгебры.
Приведенные выкладки, безусловно, являются довольно хорошей
задачей, объединяющей такие науки, как кинематика, дифференциаль-
ная и аналитическая геометрия.
Использование уравнения векторных линий поля для вычис-
ления скорости и ускорений движения материальной точки по
кривой, заданной неявно.
В случае, когда движение материальной
точки задано явно уравнением
~r
=
~r
(
t
)
,
которое может быть интер-
претировано как параметрическое уравнение траектории, вычисление
скорости, ускорений и радиуса кривизны траектории, как было пока-
зано выше, не представляет особых трудностей и является в основном
задачей дифференцирования по времени движения. Однако не всегда
имеется возможность таким образом задавать движение. Очень часто
его задают неявным уравнением траектории и зависимостью пути,
пройденного материальной точкой вдоль траектории, от времени. На
плоскости неявное уравнение траектории имеет вид [8]
F
(
x, y
)
= 0
,
(6)
а в пространстве траекторию задают системой двух уравнений, каждое
из которых описывает некоторую поверхность в пространстве [6]:
(
F
(
x, y, z
)
= 0;
G
(
x, y, z
)
= 0
.
Параметризировать кривую (траекторию), заданную такими урав-
нениями, часто очень неудобно.
В случае плоского движения представим траекторию, заданную
уравнением (6) как векторную линию (рис. 2) некоторого векторного
поля
~U
=
~U
(
~r
)
=
~e
x
∙
U
x
(
~r
)
+
~e
y
∙
U
y
(
~r
)
.
Уравнение этой линии имеет
вид [7]
dx
U
x
(
~r
)
=
dy
U
y
(
~r
)
.
(7)
Cведем уравнение
F
(
~r
)
= 0
к уравнению (7), откуда найдем компо-
ненты
U
x
и
U
y
.
Рассмотрим точки, лежащие на кривой с радиус-векторами
~r
и
~r
+
+
d~r
,
F
(
~r
)
= 0;
F
(
~r
+
d~r
)
= 0
,
следовательно,
dF
(
~r
)
=
F
(
~r
+
d~r
)
−
F
(
~r
)
= 0
.
(8)
Введем обозначения
x
1
≡
x
,
x
2
≡
y
и запишем полный диффе-
ренциал функции
F
(
~r
)
через дифференциалы
dx
1
,
dx
2
,
замечая, что
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
147