ρ
(
t
)
=
˙
~r
(
t
)
3
¨
~r
(
t
)
˙
~r
(
t
)
−
˙
~r
(
t
)
d
dt
˙
~r
(
t
)
=
=
˙
~r
(
t
)
3
s
¨
~r
(
t
)
˙
~r
(
t
)
−
˙
~r
(
t
)
d
dt
˙
~r
(
t
)
2
=
=
˙
~r
(
t
)
3
s
¨
~r
2
˙
~r
2
+ ˙
~r
2
d
dt
˙
~r
2
−
2
¨
~r
˙
~r
˙
~r
d
dt
˙
~r
.
Согласно кинематике,
~a
= ¨
~r
=
~a
n
+
~a
τ
.
Запишем
˙
~r
через касательный вектор
~τ
:
˙
~r
=
˙
~r
˙
~r
∙
˙
~r
=
~τ
˙
~r .
Тогда
ρ
(
t
)
=
˙
~r
3
˙
~r
s
¨
~r
2
+
d
dt
˙
~r
2
−
2 (
~a
n
+
~a
τ
)
~τ
d
dt
˙
~r
.
Поскольку
~a
n
∙
~τ
= 0
,
~a
τ
∙
~τ
=
a
τ
=
d
dt
˙
~r
,
окончательно получим
формулу (2) в виде
ρ
(
t
)
=
˙
~r
(
t
)
2
s
¨
~r
2
−
d
dt
˙
~r
2
.
В результате видим альтернативность двух способов получения
формулы кривизны траектории, причем один из способов может слу-
жить проверкой другого. Также наблюдается неразрывная связь ки-
нематики с дифференциальной и аналитической геометрией, причем
роль параметра кривой в кинематике играет время
t
.
Важно отметить,
что кинематический подход подразумевает наличие определенной мо-
дели, в данном случае просто криволинейное движение материальной
146
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012