dϕ
=
d
dt
 
˙
~r
(
t
)
˙
~r
(
t
)
 
dt
=
¨
~r
(
t
)
˙
~r
(
t
)
−
˙
~r
(
t
)
d
dt
˙
~r
(
t
)
˙
~r
(
t
)
2
dt .
(4)
Из уравнения (3) с учетом (4) получим
ρ
(
t
)
=
ds
dϕ
=
˙
~r
(
t
)
dt
dϕ
=
˙
~r
(
t
)
3
¨
~r
(
t
)
˙
~r
(
t
)
−
˙
~r
(
t
)
d
dt
˙
~r
(
t
)
.
(5)
Преобразуем знаменатель выражения (5) двумя способами.
Отметим, что в первом способе преобразования аналогичные вы-
числения справедливы и в трехмерном случае. Используем следующие
обозначения декартовых координат:
x
1
≡
x
,
x
2
≡
y
,
x
3
≡
z
.
Вычислим
производную по времени от величины
˙
~r
(
t
)
:
d
dt
˙
~r
(
t
)
=
d
dt
vuut
3
X
k
=1
(
˙
x
k
(
t
))
2
=
2
3
P
k
=1
˙
x
k
(
t
)
¨
x
k
(
t
)
2
s
3
P
k
=1
(
˙
x
k
(
t
))
2
=
˙
~r
(
t
)
¨
~r
(
t
)
˙
~r
(
t
)
.
Тогда
ρ
(
t
)
=
˙
~r
(
t
)
3
¨
~r
(
t
)
˙
~r
(
t
)
−
˙
~r
(
t
)
∙
d
dt
˙
~r
(
t
)
=
˙
~r
4
¨
~r
(
t
)
˙
~r
∙
˙
~r
−
˙
~r
(
t
)
∙
˙
~r
∙
¨
~r
.
Далее для преобразования знаменателя используем формулу двой-
ного векторного произведения [7]:
~a
×
~b
×
~c
=
~b
(
~a
∙
~c
)
−
~c ~a
∙
~b ,
где
~a
= ˙
~r
(
t
)
,
~b
= ¨
~r
(
t
)
,
~c
= ˙
~r
(
t
)
.
Дополнительно получаем хорошо известную компактную формулу
вычисления радиуса кривизны [7]:
ρ
(
t
)
=
˙
~r
4
˙
~r
×
¨
~r
×
˙
~r
=
˙
~r
4
˙
~r
¨
~r
×
˙
~r
=
˙
~r
3
˙
~r
×
¨
~r
.
С помощью второго способа преобразования в качестве проверки
сведем выражение, полученное при геометрическом подходе, к выра-
жению, полученному в результате кинематического подхода,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
145