Рис. 1. Плоское движение материальной точки
Теперь рассмотрим другой подход, приводящий к такому же соот-
ношению, но опирающийся на методы аналитической и дифференци-
альной геометрии (геометрический подход). Затем проведем сравни-
тельный анализ обоих подходов (геометрического и кинематического)
на примере траектории, заданной параметрическим способом и неяв-
ным уравнением.
Для простоты будем рассматривать плоское движение матери-
альной точки, которое может быть обобщено на пространственный
случай.
Вычисление кривизны кривой, заданной параметрическим
способом.
Пусть движение материальной точки на плоскости задано
уравнением (1). Траектория ее движения показана на рис. 1.
Запишем длину
ds
дуги
А
B
на малом перемещении точки
d~r
за
время
dt
из треугольника
AOB
(
где
О
—
центр кривизны траектории
в точке
А
)
через радиус кривизны в этой точке согласно следующему
соотношению [5, 6]:
ds
=
ρdϕ.
(3)
Касательные вектора
~τ
(
t
)
,
~τ
(
t
+
dt
)
,
которые выбираем нормиро-
ванными
|
~τ
(
t
)
|
=
|
~τ
(
t
+
dt
)
|
= 1
,
и вектор
d~τ
(
t
)
=
~τ
(
t
+
dt
)
−
~τ
(
t
)
образуют равнобедренный треугольник. Из этого треугольника полу-
чаем угол
dϕ
из соотношения
dϕ
≈
2
sin
dϕ
2
= 2
|
d~τ
(
t
)
|
/
2
|
~τ
(
t
)
|
=
|
d~τ
(
t
)
|
= ˙
~τ
(
t
)
dt .
Подставим выражение для касательного вектора
~τ
(
t
)
=
˙
~r
(
t
)
˙
~r
(
t
)
,
записанное через радиус-вектор
144
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012