подходе к решению этой задачи используют известные из кинемати-
ки формулы для вычисления полного, нормального и тангенциального
ускорений, причем абстрактную кривую представляют в этом случае
как траекторию движения материальной точки. Приведем общий ал-
горитм такого подхода.
Пусть движение точки задано координатными уравнениями
 
x
=
x
(
t
) ;
y
=
y
(
t
) ;
z
=
z
(
t
)
,
(1)
где
x
,
y
,
z
—
декартовы координаты материальной точки.
Полное ускорение движения точки определяется выражением [2]
~a
= ¨
~r
=
~e
x
¨
x
(
t
)
+
~e
y
¨
y
(
t
)
+
~e
z
¨
z
(
t
)
,
модуль полного ускорения
a
=
|
~a
|
=
q
(
¨
x
(
t
))
2
+ (¨
y
(
t
))
2
+ (¨
z
(
t
))
2
.
Ускорение
~a
можно однозначно разложить на нормальную и тан-
генциальную составляющие [3, 4]:
~a
=
~a
n
+
~a
τ
;
a
n
=
V
2
ρ
=
˙
~r
2
ρ
;
a
τ
=
dV
dt
=
d
˙
~r
dt
,
где
V
—
модуль скорости движения материальной точки;
ρ
—
радиус
кривизны траектории.
Ввиду ортогональности этих составляющих модуль полного уско-
рения вычисляют согласно соотношению
a
2
=
a
2
n
+
a
2
τ
,
откуда
a
n
=
p
a
2
−
a
2
τ
=
vuuut
¨
~r
2
−
 
d
˙
~r
dt
 
2
.
Окончательно получаем выражение для радиуса кривизны траектории
ρ
=
V
2
a
n
=
˙
~r
2
vuuut
¨
~r
2
−
 
d
˙
~r
dt
 
2
.
(2)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
143