Изучая энергетические состояния только у края невырожденной зо-
ны с изотропным законом дисперсии, для данного профиля потенциала
одночастичные нормированные волновые функции и энергетический
спектр электронов можно представить в виде
φ
α
(
r
β
)
=
ψ
n,m
(
x, y, z
)
=
4
L
x
ab
1
/
2
sin
πm
a
y
sin
πn
b
z
exp (
iK
x
x
) ;
E
(
n, m, K
x
)
=
~
2
2
μ
K
2
x
+
~
2
2
μ
π
a
2
m
2
+
π
b
2
n
2
,
где ось
X
направлена вдоль квантовой проволоки;
K
x
—
одномер-
ный волновой вектор, определяемый соотношением
K
x
=
2
π
L
x
n
1
(
здесь
n
1
=
±
1
,
±
2
, ...
)
;
L
x
—
длина квантовой проволоки;
a
и
b
—
толщина
квантовой проволоки вдоль осей
Y
и
Z
соответственно (предполага-
ется, что
L
x
>> a
и
b
)
;
m
,
n
= 1, 2, 3, . . . — положительные числа,
характеризующие квантовые подзоны.
Электронная плотность этой системы
n
(
r
)
=
X
|
φ
α
(
r
)
|
2
=
=
X
4
L
x
ab
1
/
2
sin
πm
a
y
sin
πn
b
z
exp (
iK
x
x
)
2
.
Таким образом, задача оказывается точно решаемой.
Энергетический спектр квантовой проволоки разбиваем на отдель-
ные перекрывающиеся одномерные подзоны
E
(
n, m, K
x
)
,
соответ-
ствующие фиксированным значениям
n
и
m
.
Движение вдоль оси
X
оказывается свободным, а вдоль осей
Y
,
Z
—
ограниченным.
Зависимость плотности состояний в квантовой проволоке от энер-
гии, рассчитанная на единицу объема, может быть представлена в виде
g
(
E
)
=
√
2
μ
π
~
ba
X
m
X
n
Θ (
E
−
E
n,m
)
p
E
−
E
n,m
.
(2)
Согласно (2), в пределах отдельной подзоны плотность состоя-
ний уменьшается с увеличением энергии как
1
p
E
−
E
n,m
.
Полная
плотность состояний представляет собой суперпозицию одинаковых
убывающих функций (соответствующих отдельным подзонам), сме-
щенных по оси энергии. Отметим также, что при
a
=
b
подзоны с
квантовыми числами
n
6
=
m
оказываются дважды вырожденными.
Для квантовых систем пониженной размерности вырождение уров-
ней в первую очередь определяется симметрией задачи, причем в за-
висимости от конкретного вида потенциала оказывается возможным
132
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012