Томограмма состояния кубита (6) задается формулой
T
(
m, ~n
)
=
T
(
+1
/
2
,
~n
)
T
(
−
1
/
2
,
~n
)
=
{
ρ
(
~n
)
}
mm
(7)
с учетом того, что
m
= 1
и
m
= 2
согласуется проекциями спина
|
+1
/
2
,
~n
i
и
|−
1
/
2
,
~n
i
соответственно. Таким образом, имеем дело с
диагональными элементами матрицы плотности, которые определяют
вероятности получения того или иного результата измерения проекции
спина на произвольную ось, задаваемую вектором
~n
.
Условие неотрицательности и нормировки для томограммы
T
(
m, U
)
можно записать в следующем виде:
T
(
m, ~n
)
≥
0
,
X
m
T
(
m, ~n
)
= 1
.
Исследуя распределение вероятностей дискретной случайной ве-
личины, можем ввести томографическую энтропию по аналогии с
определением энтропии Шеннона
S
t
(
~n
)
=
−
X
m
T
(
m, ~n
)
log
2
T
(
m, ~n
)
.
(8)
В дальнейшем индексом
t
будем обозначать величины, полученные
именно с помощью томограмм.
Наконец, для двусоставной системы с исходной матрицей плотно-
сти
ρ
0
AB
томограмма будет иметь вид
T
(
m
1
,
m
2
,
~n
1
,
~n
2
)
=
{
U
(
~n
1
,
~n
2
)
ρ
0
AB
U
†
(
~n
1
,
~n
2
)
}
2
m
1
+
m
2
2
m
1
+
m
2
,
(9)
где матрица
U
(
~n
1
,
~n
2
)
определяется тензорным произведением двух
унитарных матриц поворота
U
(
~n
1
,
~n
2
)
=
U
(
~n
1
)
U
(
~n
2
)
.
Другими словами, измерения над каждой подсистемой проводят в
независимых базисах, характеризуемых своими единичными вектора-
ми
~n
1
и
~n
2
.
Квантово-томографический причинный анализ.
Использование
аппарата квантового причинного анализа на языке томографии озна-
чает замену энтропий фон Неймана
S
AB
,
S
A
и
S
B
в формуле (1) для
функций независимости на томографические энтропии
S
t
AB
(
~n
1
,
~n
2
)
,
S
t
A
(
~n
1
)
и
S
t
B
(
~n
2
)
соответственно. После подстановки новых функций
независимости в формулу для хода времени (2) получаем томографи-
ческую причинность
c
t
2
(
~n
1
,
~n
2
)
(
напомним, что
k
= 1
).
Рассмотрим ключевые отличия обычного квантового причинного
анализа от квантово-томографического. Во-первых, для каждого кон-
кретного состояния причинность
c
t
2
(
~n
1
,
~n
2
)
уже является функцией от
четырех параметров (каждый из векторов
~n
1
и
~n
2
определяется своими
углами
θ
1
,
ϕ
1
и
θ
2
,
ϕ
2
).
Таким образом, причинность в системе будет
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
79