Симплектическую томограмму
T
(
,
μ, η
)
наблюдаемой , которая
является линейной комбинацией квадратурных компонент,
b
=
μ
b
q
+
η
b
p
определяют через волновую функцию следующим образом:
T
(
,
μ, η
)
=
|
b
F
μ,η
[
ψ
]( )
|
2
,
где
b
F
μ,η
—
линейный унитарный оператор. Таким оператором является
интегральный оператор дробного преобразования Фурье
T
(
,
μ, η
)
=
1
2
π
|
η
|
Z
ψ
(
q
)
exp
h
iμ
2
η
q
2
−
i
η
q
i
dq
2
.
(5)
В случае использования преобразования (4) томограмма называет-
ся оптической и с помощью волновой функции определяется следую-
щим образом:
T
(
,
θ
)
=
1
2
π
|
sin
θ
|
Z
ψ
(
q
)
exp
h
i
ctg
θ
2
q
2
−
i
sin
θ
q
i
dq
2
.
Исходя из определения (5), томограмма
T
(
,
μ, η
)
представляет со-
бой положительную, нормированную и однородную c порядком
−
1
функцию:
T
(
,
μ, η
)
≥
0;
Z
T
(
,
μ, η
)
d
= 1;
T
(
,
μ, η
)
=
|
λ
|T
(
λ , λμ, λη
)
,
где
λ
—
произвольная постоянная.
Свойство однородности позволяет записать для томограммы урав-
нение Эйлера. Поэтому несмотря на то, что томограмма является
функцией трех переменных, благодаря нормировке ее можно предста-
вить через функцию двух переменных (подобные функции называются
томограммами Френеля).
Методы квантовой томографии находят активное применение для
анализа квантовых систем, моделирования [9, 10] и в физике конден-
сированного состояния [8].
Рассмотрим дискретную спиновую томографию, предложенную в
работе [11]. Пусть матрица плотности
ρ
0
частицы со спином 1/2 харак-
теризует проекцию спина на определенную ось
Oz
.
Для произвольно
выбранной оси
Oz
0
,
направленной вдоль единичного вектора с коор-
динатами
~n
=
{
sin
θ
cos
ϕ,
sin
θ
sin
ϕ,
cos
θ
}
,
матрица плотности примет
вид
ρ
(
~n
)
=
U
(
~n
)
ρ
0
U
†
(
~n
)
,
(6)
где
U
(
~n
)
=
U
(
θ, ϕ
)
—
унитарная матрица поворота,
U
(
θ, ϕ
)
=
cos(
θ/
2)
exp(
iϕ/
2)
sin(
θ/
2)
exp(
iϕ/
2)
−
sin(
θ/
2)
exp(
−
iϕ/
2)
cos(
θ/
2)
exp(
−
iϕ/
2)
.
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012