=
−
ε
∂
∂ε
+
μ
∂
∂μ
+
η
∂
∂η
1
2
π
|
η
| ×
×
Z
D
[
q
(
t
)]
exp
h
iS
+
iμ
2
η
q
2
2
−
iε
η
q
2
i
ψ
(
q
1
)
dq
1
dq
2
2
.
(8)
Представление решения уравнения Фоккера – Планка.
Рассмот-
рим классификацию эволюционных уравнений для томограмм. Эво-
люционное уравнение для симплектической томограммы
T
(
ε, μ, η
)
c
гамильтонианом
b
H
=
b
p
2
2
+
V
(
b
q
)
имеет вид обобщенного уравнения Фоккера – Планка [4]:
∂
T
∂t
=
μ
∂
T
∂η
+
i
h
−
V I
ε
∂
∂μ
+
iη
2
∂
∂μ
−
V
−
I
ε
∂
∂μ
+
iη
2
∂
∂μ
i
T
,
(9)
где
I
ε
—
оператор интегрирования по переменной
ε
.
Из уравнения (9) для свободной частицы получим дифференциаль-
ное уравнение первого порядка
∂
T
∂t
−
μ
∂
T
∂η
= 0;
(10)
для гармонического осциллятора
V
(
b
q
)
=
b
q
2
2
;
∂
T
∂t
−
μ
∂
T
∂η
+
η
∂
T
∂μ
= 0;
(11)
для параметрического осциллятора с переменной частотой
ω
(
t
)
∂
T
∂t
−
μ
∂
T
∂η
+
ω
2
(
t
)
η
∂
T
∂μ
= 0
.
(12)
Как уже было отмечено выше, томограмма представляет собой ре-
шение уравнения Фоккера – Планка. Поэтому с помощью формулы (5)
можно искать решение уравнения Фоккера – Планка с учетом связи
между томограммой и волновой функцией. Задачи о представлении
решения для данного уравнения рассматривали ранее, поскольку су-
ществует его тесная связь с формулировкой Фейнмана интегралов по
траекториям и представлением решения уравнения Шредингера [14].
Вычислив томогратор уравнения (11), можно получить волновые
функции осциллятора. В общем случае решение имеет вид
T
n
(
ε, μ, η
)
=
2
−
n
n
!
p
π
(
μ
2
+
η
2
)
exp
h
−
ε
2
μ
2
+
η
2
i
H
2
n
h
ε
p
μ
2
+
η
2
i
,
(13)
где
H
n
(
x
)
—
полиномы Эрмита.
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012