Общий вид решения уравнения (4):
T
f
(
ε, μ, η
)
=
1
|
μ
|
f
ε
μ
,
η
μ
,
где
f
—
произвольная функция.
Решение уравнения Эйлера для томограмм позволяет уменьшить ее
размерность. Несмотря на то что томограмма является функцией трех
переменных, благодаря нормировке ее можно представить через функ-
цию двух переменных. Подобные функции называются томограммами
Френеля.
Для симплектических томограмм, оптических и томограмм Фре-
неля было предложено представление с помощью интеграла по траек-
ториям в фазовом пространстве [5]:
T
(
ε, μ, η
)
=
1
2
π
|
η
|
Z
D
[
q
(
t
)]
exp
h
iS
+
iμ
2
η
q
2
2
−
iε
η
q
2
i
ψ
(
q
1
)
dq
1
dq
2
2
,
(5)
где
S
—
функционал действия. Формулу (5) можно еще записать в виде
T
(
ε, μ, η
)
=
1
2
π
|
η
|
Z
G
(
q
2
,
q
1
,
t
2
−
t
1
)
exp
h
iμ
2
η
q
2
2
−
iε
η
q
2
i
ψ
(
q
1
)
dq
1
dq
2
2
,
где
G
(
q
2
,
q
1
,
t
2
−
t
1
)
—
функция Грина уравнения Шредингера
−
1
2
Δ
ψ
(
q, t
)
+
V
(
q
)
ψ
(
q, t
)
=
i
∂
∂t
ψ
(
q, t
)
с начальным условием
ψ
(
q
1
)
;
используется интегральная мера Лебега
D
[
x
(
t
)]
= lim
N
→∞
N
Y
j
=1
−
2
πi
Δ
t
j
3
/
2
d
3
x
j
.
Ввиду сложности эволюционные уравнения для вектора состоя-
ния системы невозможно решить аналитически. Поэтому особенную
актуальность приобретает задача разработки приближенных методов
(
теории возмущений) поиска томограмм. Такой аппарат может быть
развит на основе формулы (5).
Ряд теории возмущений.
Пусть волновая функция подчиняется
уравнению Шредингера. Рассмотрим томографический “пропагатор”
(
далее для краткости — томогратор) вида
P
=
Z
G
(
q
2
,
q
1
,
t
2
−
t
1
)
exp
iμ
2
η
q
2
2
−
iε
η
q
2
dq
2
.
(6)
Предположим, что потенциал, содержащийся в функции Грина, до-
статочно мал. Более строго, пусть интеграл по времени от потенциала
вдоль траектории мал по сравнению с единицей (используем осцилля-
торные единицы; обычно его считают малым по сравнению с
~
).
Тогда
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012