как для новых
ε
,
σ
,
так и для старых переменных
q
и
p
.
Уравнения
Гамильтона следуют из принципа наименьшего действия:
δ
Z
(
pdq
−
H
(
q, p
)
dt
)
=
δ
Z
(
σdε
−
ˉ
H
(
ε, σ
)
dt
)
= 0
,
(2)
где
ˉ
H
(
ε, σ
)
—
гамильтониан системы после преобразования (1).
Поскольку
M
—
матрица группы Sp
2
(
R
)
,
которая является по-
лупростой группой Ли, допускается разложение Ивасавы, и можно
рассмотреть другие типы томограмм. Например, оптическую томо-
грамму, которая получается в случае, если матрица
M
имеет вид
cos
θ
sin
θ
−
sin
θ
cos
θ
,
где
θ
2
R
/
2
π
Z
—
угол поворота.
В таком случае преобразование (1) является поворотом фазового
пространства на угол
θ
,
а в общем случае преобразование (1) — это по-
ворот фазового пространства с взаимным масштабированием по осям
p
и
q
фазового пространства.
Симплектическую томограмму
T
(
ε, μ, η
)
наблюдаемой
ε
,
которая
является линейной комбинацией квадратурных компонент
b
ε
=
μ
b
q
+
η
b
p,
определяют через волновую функцию следующим образом:
T
(
ε, μ, η
)
=
|
b
F
μ,η
[
ψ
(
q
)](
ε
)
|
2
,
где
b
F
μ,η
—
линейный унитарный оператор. Таким оператором является
интегральный оператор дробного преобразования Фурье
T
(
ε, μ, η
)
=
1
2
π
|
η
|
Z
ψ
(
q
)
exp
h
iμ
2
η
q
2
−
iε
η
q
i
dq
2
.
(3)
Здесь и далее используются осцилляторные единицы
m
=
~
=
ω
= 1
.
Исходя из определения (3), томограмма
T
(
ε, μ, η
)
представляет со-
бой положительную, нормированную и однородную c порядком
−
1
функцию:
T
(
ε, μ, η
)
≥
0;
Z
T
(
ε, μ, η
)
dε
= 1;
T
(
ε, μ, η
)
=
|
λ
|T
(
λε, ελμ, λη
)
,
где
λ
—
произвольная постоянная.
Свойство однородности позволяет записать для томограммы урав-
нение Эйлера:
∂
T
∂ε
ε
+
∂
T
∂μ
μ
+
∂
T
∂η
η
=
−T
.
(4)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
7