построениях участвуют блоки
Θ
12
(
a, p, t
)
,
Θ
22
(
a, p, t
)
,
(7)
матрицы (5) и
n
-
мерная векторная функция
y
(
a, p, t
;
a
1
)
= Θ
11
(
a, p, t
)
a
1
,
a
1
2
E
n
.
(8)
Функции (8) определяются матричной задачей Коши
d
dt
Θ
12
Θ
22
!
=
H
(
a, p, t
)
Θ
12
Θ
22
!
,
Θ
12
Θ
22
!
t
=0
=
O
n
E
n
!
.
(9)
Функция (9) также определяются матричной задачей Коши
d
dt
y
χ
!
=
H
(
a, p, t
)
y
χ
!
,
y
χ
!
t
=0
=
a
1
0
!
,
(10)
где
χ
=
χ
(
a, p, t
;
a
1
)
= Θ
21
(
a, p, t
)
a
1
.
Размерность задачи (10) вдвое
меньше размерности задачи (6).
Рассмотрим алгоритм решения системы дифференциальных урав-
нений для краевой задачи (2) на основе метода возмущений, при-
меняемого в сочетании с методом Ньютона. Для применения метода
Ньютона требуется “достаточно хорошее” нулевое приближение, кото-
рое обычно неизвестно. Для выработки такого нулевого приближения
используется метод возмущений. В случае линейной задачи быстро-
действия с гладкой областью управления такая методика оказывается
вполне работоспособной [1]. Схема продолжения по параметру в не-
прерывной форме для нелинейной краевой задачи (2) рассмотрена в
[3].
Здесь рассмотрим схемы продолжения по параметру для нелиней-
ной краевой задачи (2) (в симметричной и несимметричной формах) и
их дискретные аналоги. Эти схемы учитывают специфику системы и
отличаются от классического варианта нормировкой вектора
p
началь-
ного значения сопряженной переменной. Условие применимости рас-
сматриваемых методов (гладкость функций
f
(
x
)
,
c
(
ψ
)
,
продолжимость
решения задачи Коши (3), существование решения краевой задачи (2)
и обратимость некоторых матриц) выполняются в рассматриваемых
примерах, и предлагаемые методы оказываются работоспособными.
При построении вычислительных алгоритмов важную роль игра-
ют свойства решений задачи (3). Их использование позволяет в не-
линейном случае добиться заметной аналогии с линейным случаем
f
(
x
)
=
Ax
,
который исследован достаточно подробно.
1.
Функция
h
(
x, ψ
)
является первым интегралом системы (3):
h
(
x
(
a, p, t
)
,
ψ
(
a, p, t
))
≡
h
(
a, p
)
.
2.
Решения являются положительно однородными:
x
(
a, λp, t
)
=
x
(
a, p, t
)
,
ψ
(
a, λp, t
)
=
λψ
(
a, p, t
)
,
λ
= const
>
0
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
215