Применение принципа максимума Понтрягина в задаче (1) приво-
дит к системе дифференциальных уравнений для нелинейной краевой
задачи
 
˙
x
=
h
0
ψ
(
x, ψ
)
≡
f
(
x
)
+
c
0
(
ψ
)
,
˙
ψ
=
−
h
0
x
(
x, ψ
)
≡ −
f
0
T
(
x
)
ψ,
x
(0)
=
a,
x
(
T
)
= 0
.
(2)
В этой задаче необходимо найти неизвестное время
T >
0
и гра-
ничное значение
p
=
ψ
(0)
сопряженной переменной, подчиненное
условию нормировки
k
p
k
= 1
.
Эти параметры
p
,
T
будем называть
решениями краевой задачи (2). Определив эти параметры, мы сведем
краевую задачу к задаче Коши.
Рассмотрим задачу Коши
 
˙
x
=
h
0
ψ
(
x, ψ
)
,
˙
ψ
=
−
h
0
x
(
x, ψ
)
,
x
(0)
=
a,
ψ
(0)
=
p
(3)
для уравнений принципа максимума. Решение этой задачи обозначим
x
(
a, p, T
)
,
ψ
(
a, p, T
)
,
(4)
a, p
2
E
n
,
p
6
= 0
.
Введем квадратную матрицу порядка
2
n
производных
решения (4) по начальным условиям
Θ(
a, p, T
)
=
Θ
11
Θ
12
Θ
21
Θ
22
≡
 
∂x
∂a
∂x
∂p
∂ψ
∂a
∂ψ
∂p
 
.
(5)
Матрица (5) является решением следующей задачи Коши для ли-
нейного матричного дифференциального уравнения
˙Θ =
H
(
a, p, t
)
Θ
,
Θ(0) =
E
2
n
,
(6)
где
E
2
n
—
единичная матрица порядка
2
n
,
матрица
H
(
a, p, t
)
=
A B
−
D
−
A
T
;
квадратные матрицы порядка
n
A
=
f
0
(
x
)
,
B
=
c
00
(
ψ
)
,
D
= (
ψ, f
(
x
))
00
xx
вычисляются на решении (4). Таким образом, матрицы (6) зависят
от аргументов
a
,
p
,
t
,
матрицы
B
и
D
симметричны. В дальнейших
214
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012