УДК 517.9
С. И. Ш и ш к и н а
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрен вычислительный алгоритм решения системы диффе-
ренциальных уравнений для нелинейной краевой задачи на основе
метода продолжения по параметру в непрерывной форме с даль-
нейшим уточнением по методу Ньютона. Изучены основные свой-
ства используемых функций, приведены результаты расчета для
задачи о быстрейшей остановке вращения твердого тела вокруг
неподвижной точки.
E-mail: shish-bmstu@mail.ru
Ключевые слова
:
система дифференциальных уравнений, нелинейная за-
дача быстродействия, метод возмущений.
Важным звеном, связывающим технические задачи с теоретиче-
скими исследованиями, является разработка численных методов для
решения поставленных задач. Рассмотрим вычислительный алгоритм
для модели, в которую вкладывается задача о быстрейшей остановке
вращения твердого тела вокруг неподвижной точки при помощи трех
двигателей.
Пусть объект управления описывается системой дифференциаль-
ных уравнений
˙
x
=
f
(
x
)
+
u
,
где
f
(
x
)
—
гладкая нелинейная векторная
функция,
f
(0)
= 0
,
x
—
вектор фазовых координат,
u
—
управление,
x
,
u
2
E
n
,
u
2
U
,
область управления
U
—
гладкий выпуклый компакт,
принадлежащий классу
Γ(
E
n
)
[1].
Введем вспомогательную переменную, удовлетворяющую сопря-
женной к исходной системе дифференциальных уравнений,
ψ
2
E
n
:
˙
ψ
=
−
f
0
T
(
x
)
ψ.
Задача о быстрейшей остановке вращений твердого тела вокруг
неподвижной точки при помощи трех двигателей [2] имеет вид (1)
при
n
= 3
и
f
(
x
)
= (
c
1
x
2
x
3
,
c
2
x
1
x
3
,
c
3
x
1
x
2
)
T
.
Рассмотрим нелинейную задачу быстродействия
 
˙
x
=
f
(
x
)
+
u,
x
(0)
=
a,
x
(
T
)
= 0
,
T
→
min
u
.
(1)
Введем обозначения:
c
(
ψ
)
= max
u
2
U
(
ψ, u
)
—
опорная функция компак-
та
U
;
ψ
2
E
n
;
c
0
(
ψ
)
—
градиент опорной функции;
h
(
x, ψ
)
= (
ψ, f
(
x
))
+
+
c
(
ψ
)
≡
ψ
T
[
f
(
x
)
+
c
0
(
ψ
)]
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
213