точки
M
2
V
,
причем функция
λ
(
M
)
кусочно постоянная и принима-
ет значения
λ
1
при
r
≤
R
1
,
λ
при
R
1
≤
r
≤
R
,
λ
2
при
R
≤
r
≤
R
2
и
λ
при
r
≥
R
2
.
Примем в качестве допустимого для минимизируемого функцио-
нала [5]
J
[
T
]
=
1
2
Z
V
λ
(
M
)
r
T
(
M
)
2
dV
(
M
)
,
(12)
где
r
—
дифференциальный оператор Гамильтона, линейное по высо-
те цилиндра распределение температуры с постоянной составляющей
градиента
G
.
В этом случае из формулы (12) получим
J
1
[
T
]
=
G
2
2
λHS
0
−
2
πR
3
2
3
λ
+ 2
π
R
3
2
−
R
3
3
λ
2
+
+ 2
π
R
3
−
R
3
1
3
λ
+ 2
π
R
3
1
−
R
3
0
3
λ
1
.
(13)
Для максимизируемого функционала [5]
I
[
q] =
−
1
2
Z
V
q(
M
)
2
λ
(
M
)
dV
(
M
)
−
−
Z
S
T
(
P
)
q(
P
)
∙
n(
P
)
dS
(
P
)
,
P
2
S,
(14)
где
n
—
единичный вектор внешней нормали к поверхности
S
,
в каче-
стве допустимого распределения вектора плотности теплового потока
q
примем постоянное значение
q
=
−
λG
единственной составляющей
этого вектора, перпендикулярной основаниям цилиндра. Тогда форму-
ла (14) примет вид
I
1
[
q
]
=
−
(
λG
)
2
2
HS
0
−
2
πR
3
2
/
3
λ
+ 2
π
R
3
2
−
R
3
3
λ
2
+
+ 2
π
R
3
−
R
3
1
3
λ
+ 2
π
R
3
1
−
R
3
0
3
λ
1
+ +
λG
2
HS
0
.
(15)
Принятые допустимые распределения температуры и плотности
теплового потока для неоднородной области отличаются от действи-
тельных и поэтому значения
J
1
[
T
]
и
I
1
[
q
]
не будут совпадать, причем
J
1
[
T
]
> I
1
[
q
]
.
В промежутке между этими значениями должно быть
расположено и значение
J
0
= (
λ/
2)
G
2
HS
0
минимизируемого функци-
онала (12) для однородной области с коэффициентом теплопроводно-
сти
λ
.
Тогда при
(
R
1
/
R
2
)
3
=
C
V
с учетом формулы (13) из условия
184
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012