где
e
λ
=
λ/λ
2
,
ˉ
R
=
R /R
2
,
d
= 3
1
+
b C
V
/
ˉ
R
3
2
+ ˉ
λ
+ 2
b
(1
−
ˉ
λ
)
C
V
/
ˉ
R
3
−
1
,
b
=
1
−
ˉ
λ/
ˉ
λ
+ (1 + 2 ˉ
λ/
ˉ
λ
)
ˉ
R
3
0
/
2
2
+ ˉ
λ/
ˉ
λ
+ (1
−
ˉ
λ/
ˉ
λ
)
ˉ
R
3
0
,
C
V
=
R
3
1
/
R
3
2
,
ˉ
λ
=
λ /λ
2
,
ˉ
λ
=
λ
1
/
λ
2
и
ˉ
R
0
=
R
0
/
R
1
.
В случае включе-
ния в виде сплошного шара
ˉ
R
0
= 0
и
b
=
b
0
= (1
−
ˉ
λ/
ˉ
λ
)
/
(2
+ ˉ
λ/
ˉ
λ
)
.
Замена составной шаровой частицы равновеликим шаром радиу-
сом
R
2
с искомым коэффициентом теплопроводности
λ
приведет к
исчезновению возмущения температурного поля в окружающем ее
однородном материале с тем же значением
λ
.
Тогда в равенстве (2)
следует положить
Δ
T
(
r, θ
)
= 0
,
что равносильно условию
B
= 0
,
которое с учетом формулы (10) позволяет записать
e
λ
= (1
−
2
ˉ
R
3
d
)
/
(1
+ ˉ
R
3
d
)
.
(11)
Эта формула сохраняет смысл при условии
C
V
≤
C
V
= (
R
1
/
R
)
3
,
поскольку при
C
V
=
C
V
в составной частице уже отсутствует шаро-
вой слой матрицы. В частном случае отсутствия промежуточного слоя
ˉ
R
3
=
C
V
и равенство (11) при
ˉ
λ
= ˉ
λ
и
ˉ
R
0
= 0
переходит в известную
формулу Максвелла [3]
e
λ
=
2
+ ˉ
λ
−
2(1
−
ˉ
λ
)
C
V
2
+ ˉ
λ
+ (1
−
ˉ
λ
)
C
V
,
полученную на основе более простой двухфазной модели, состоящей
из включения в виде сплошного шара и окружающего его материала
матрицы.
Для оценки возможной погрешности формулы (11) используем
двойственную вариационную формулировку задачи стационарной те-
плопроводности [4, 5], позволяющую получить двусторонние оцен-
ки эффективного коэффициента теплопроводности рассматриваемого
композита. Область
V
,
содержащую представительный элемент в виде
половины составной частицы радиусом
R
2
,
выберем в виде прямого
цилиндра с достаточно большой площадью
S
0
параллельных основа-
ний, одно из которых соответствует в сферических координатах зна-
чению
θ
=
π/
2
,
а точки второго имеют координаты
r
cos
θ
=
H
,
т.е.
высота цилиндра равна
H
,
причем
H R
2
.
Боковую поверхность
цилиндра примем идеально теплоизолированной, температуру осно-
вания при
θ
=
π/
2
положим равной нулю, а на втором основании
зададим температуру
GH
.
Однородный материал в части области вне
составной частицы имеет коэффициент теплопроводности
λ
.
Таким
образом, в неоднородной цилиндрической области объемом
V
0
=
HS
0
,
ограниченной поверхностью
S
,
распределение температуры
T
(
M
)
и
коэффициент теплопроводности
λ
(
M
)
являются функциями координат
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
183