постоянный коэффициент. Таким образом, температурное поле в одно-
родном материале, удовлетворяющее заданному условию при
r
→ ∞
и уравнению (1), описывает функция
T
(
r, θ
)
=
T
∞
(
r, θ
)
+ Δ
T
(
r, θ
)
= (
Gr
+
B/r
2
)
cos
θ.
(2)
Аналогичные зависимости описывают распределения температуры в
шаровом включении
T
1
(
r, θ
)
= (
A
1
r
+
B
1
/
r
2
)
cos
θ,
(3)
в промежуточном слое
T
(
r, θ
)
= (
A r
+
B /r
2
)
cos
θ
(4)
и в слое материала матрицы
T
2
(
r, θ
)
= (
A
2
r
+
B
2
/
r
2
)
cos
θ.
(5)
В равенства (2)—(5) входят 7 неизвестных коэффициентов
B
,
A
1
,
B
1
,
A
,
B
,
A
2
и
B
2
,
которые необходимо найти из граничных условий
на сферических поверхностях с радиусами
R
0
,
R
1
,
R
и
R
2
.
При
r
=
R
0
из условия отсутствия теплообмена в полости шарового включения с
учетом равенства (3) получим
∂T
1
/
∂r
r
=
R
0
= (
A
1
−
2
B
1
/
R
3
0
)
cos
θ
= 0
,
или
A
1
= 2
B
1
/
R
3
0
.
(6)
При
r
=
R
1
из условий непрерывности плотности теплового потока
и распределения температуры следует
λ
1
∂T
1
/
∂r
r
=
R
1
=
λ ∂T /∂r
r
=
R
1
и
T
1
(
R
1
,
θ
)
=
T
(
R
1
,
θ
)
.
Отсюда с использованием равенств (3) и (4) находим
A
1
−
2
B
1
/
R
3
1
= (
λ /λ
1
)(
A
−
2
B /R
3
1
)
и
A
1
+
B
1
/
R
3
1
=
A
+
B /R
3
1
.
(7)
Из аналогичных условий при
r
=
R
с учетом формул (4) и (5)
следует
A
−
2
B /R
3
= (
λ
2
/
λ
)(
A
2
−
2
B
2
/
R
3
)
и
A
+
B /R
3
=
A
2
+
B
2
/
R
3
.
(8)
Наконец, из подобных условий при
r
=
R
2
и соотношений (2) и (6)
получим
A
2
−
2
B
2
/
R
3
2
= (
λ/λ
2
)(
G
−
2
B/R
3
2
)
и
A
2
+
B
2
/
R
3
2
=
G
+
B/R
3
2
.
(9)
Последовательным исключением неизвестных из равенств (6). . . (9)
находим
B
R
3
2
=
G
e
λ
(1
+ ˉ
R
3
d
)
−
1
+ 2 ˉ
R
3
d
2
e
λ
(1
+ ˉ
R
3
d
)
+ 1
−
2
ˉ
R
3
d
,
(10)
182
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012