При известном распределении завихренности скорость среды мо-
жет быть вычислена с использованием закона Био–Савара:
~V
(
~r, t
)
=
~V
∞
+
1
2
π
Z
S
~
Ω(
~ξ, t
)
×
(
~r
−
~ξ
)
|
~r
−
~ξ
|
2
dS.
Согласно уравнению (1), завихренность в области течения движет-
ся по линиям поля скоростей
~U
. “
Новая” завихренность генерируется
только на профиле в виде вихревого слоя, влияние которого на по-
ле скоростей в области течения эквивалентно влиянию обтекаемого
профиля. Таким образом, из граничного условия на профиле следует
интегральное уравнение относительно интенсивности вихревого слоя.
С математической точки зрения задача поиска интенсивности ви-
хревого слоя в текущий момент времени эквивалентна задаче о моде-
лировании стационарного обтекания профиля потоком идеальной сре-
ды. При расчете нестационарного обтекания профиля аналогичную
задачу следует решать на каждом шаге по времени.
Модифицированный подход в МВЭ.
Рассмотрим задачу о моде-
лировании обтекания профиля потоком идеальной несжимаемой сре-
ды [5] при отсутствии завихренности в области течения. Профиль мо-
делируется тонким вихревым слоем с интенсивностью
γ
(
p
0
)
=
γ
(
x
0
,
y
0
)
.
Скорость
~V
= (
v
x
,
v
y
,
0)
T
может быть найдена в любой точке течения
по закону Био–Савара (точка
~r
0
= (
x
0
,
y
0
,
0)
T
лежит на поверхности
профиля
K
,
~γ
(
~r
0
)
=
γ
(
~r
0
)
~k
—
вектор интенсивности вихревого слоя,
~k
= (0
,
0
,
1)
T
):
~V
(
~r
)
=
~V
∞
+
I
K
~γ
(
~r
0
)
×
(
~r
−
~r
0
)
2
π
|
~r
−
~r
0
|
2
dl
r
0
.
Предельные значения скорости среды на поверхности профиля рав-
ны
~V
±
(
~r
)
=
~V
∞
+
I
K
~γ
(
~r
0
)
×
(
~r
−
~r
0
)
2
π
|
~r
−
~r
0
|
2
dl
r
0
±
~γ
(
~r
)
2
×
~n
(
~r
)
.
Здесь
~n
(
~r
)
—
вектор единичной нормали к поверхности профиля в точ-
ке
~r
,
вектор
~V
+
(
~r
)
соответствует предельному значению скорости со
стороны потока,
~V
−
(
~r
)
—
предельному значению скорости со стороны
профиля.
Для того чтобы определить интенсивность вихревого слоя
γ
,
необ-
ходимо решить уравнение
~V
−
(
~r
)
=
~
0
на поверхности профиля, которое
эквивалентно любому из уравнений
~V
−
∙
~n
= 0
и
~V
−
∙
~τ
= 0
[4].
В “клас-
сическом” МВЭ используется условие равенства нулю нормальных
компонент скорости на границе профиля (назовем этот подход НМВЭ),
в то время как в рамках рассматриваемого в данной работе подхода
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
139