В связи с этим актуальной задачей является переход к новой рас-
четной схеме МВЭ, которая позволяет избежать отмеченных недо-
статков “классического” подхода и существенно повысить точность
решения задач. Представляется перспективным использование извест-
ного подхода [4], основанного на сведении задачи к решению инте-
грального уравнения Фредгольма, в то время как в рамках “классиче-
ской” реализации МВЭ возникает необходимость решения сингуляр-
ного интегрального уравнения с ядром Коши. Проведенное сравнение
двух подходов на примере расчета обтекания профилей простейших
форм, показало высокую эффективность “модифицированной” расчет-
ной схемы МВЭ. Следует отметить, что существенной особенностью
разработанного подхода является выполнение граничных условий не
в отдельных (контрольных) точках на профиле, а в среднем на участ-
ках профиля, на которых интенсивность вихревого слоя полагается
постоянной. Это приводит к необходимости вычисления интегралов,
которые в работе [5] находились численно с использованием квадра-
турных формул Гаусса.
Целью данной работы является получение точных аналитических
выражений для вычисления вихревого влияния в рамках “модифици-
рованного” метода вихревых элементов.
Постановка задачи гидродинамики.
Движение вязкой несжима-
емой среды описывается уравнением неразрывности
r∙
~V
= 0
и урав-
нениями Навье–Стокса
∂ ~V
∂t
+ (
~V
∙ r
)
~V
=
ν
Δ
~V
− r
p
ρ
,
где
~V
(
~r, t
)
—
скорость набегающего потока,
p
(
~r, t
)
—
давление,
ρ
=
= const
—
плотность среды,
ν
—
коэффициент кинематической вязко-
сти. В идеальной жидкости
ν
= 0
и уравнения Навье–Стокса переходят
в уравнения Эйлера.
В качестве граничных условий выступают условие прилипания
~V
(
~r, t
)
= 0
либо условие непротекания
~V
(
~r, t
)
∙
~n
(
~r
)
= 0
на профиле и
условия затухания возмущений на бесконечности
~V
(
~r, t
)
→
~V
∞
,
p
(
~r, t
)
→
p
∞
,
|
~r
| → ∞
.
В терминах завихренности
~
Ω(
~r, t
)
=
r×
~V
(
~r, t
)
уравнения движе-
ния среды могут быть записаны в форме Гельмгольца:
∂
Ω
∂t
+
r ×
(
~
Ω
×
~U
)
= 0
.
(1)
Здесь
~U
(
~r, t
)
=
~V
(
~r, t
)
+
~W
(
~r, t
)
,
~W
(
~r, t
)
—
диффузионная скорость,
пропорциональная коэффициенту вязкости и равная нулю для идеаль-
ной среды [3].
138
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012