Изменение положения границы обусловлено двумя основными
процессами. Первый — боковое распространение ее выступов, вто-
рой — их возникновение за счет вовлечения в лавину новых ячеек с
высоким заполнением.
Таким образом, динамику границы можно описать стохастическим
уравнением переноса следующего вида:
∂h
(
ϕ, t
)
∂t
=
v
∂h
(
ϕ, t
)
r
(
t
)
∂ϕ
+
η,
(4)
где
v
—
скорость продвижения склонов выступов, происходящего в
обоих тангенциальных направлениях, а
η
—
дельта-коррелированный
шум, отвечающий за их рост в радиальном.
Прежде чем конкретизировать вид этих величин, заметим, что
масштабно-инвариантная запись вида (3) предполагает, что все члены
уравнения (4) при пространственном огрублении должны оставаться
одного и того же порядка величины или становиться пренебрежимо
малы. Иными словами, при одновременной перенормировке перемен-
ных
r
→
br,
t
→
b
z
t,
(5)
h
→
b
χ
h,
вид уравнения (4) должен сохраняться неизменным за исключением,
возможно, выпадения несущественных членов (таковы, например, все
члены со старшими производными, которые можно формально доба-
вить в правую часть уравнения для преодоления градиентной ката-
строфы). Поэтому при определении
v
и
η
мы будем ориентироваться
лишь на те их компоненты, которые остаются существенными при
пространственном огрублении.
Осреднение шума при огрублении должно проводиться вдоль гра-
ницы, на которой он и действует. В силу ее фрактального характера,
малые изменения
ϕ
влекут большие изменения
h
,
т.е. длина элемента
границы
δc
=
p
r
2
δϕ
2
+
δh
2
≈
δh.
Таким образом, можно приближенно считать, что координата
h
вполне характеризует положение границы, так что шум можно с при-
емлемой точностью представить в виде
η
(
h, t
)
с корреляцией
h
η
(
h, t
)
η
(
h
0
,
t
0
)
i
δ
(
h
−
h
0
)
δ
(
t
−
t
0
)
.
Соответственно, при перенормировке (5) шумовой член изменяется
как
η
→
b
−
(
z
+
χ
)
/
2
η.
(6)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
123