Тангенциальное продвижение склонов выступов является сильно кор-
релированным процессом, поскольку на склоне находятся ячейки, по-
лучившие дополнительные песчинки. Опрокидывание любой из них с
высокой вероятностью приводит к опрокидыванию всех ячеек склона
или значительной их части. Это означает, что скорость
v
пропорци-
ональна высоте выступа
Δ
h
(
ϕ, t
)
,
измеряемой как изменение реше-
ния
h
(
ϕ, t
)
на участке его монотонности. Таким образом,
v
является
нелокально-определенной величиной, выразить которую через
ϕ
,
t
и
h
(
ϕ, t
)
невозможно. Тем не менее, для нее удается определить правила
перенормировки.
Протяженность участка монотонности зависит от выбранного про-
странственного разрешения. По мере огрубления высота выступов бу-
дет нарастать, приближаясь по порядку величины к ширине границы:
Δ
h
(
ϕ, t
)
w
(
t
)
.
(7)
При этом меньшие скорости продвижения менее высоких выступов
оказываются несущественными, поскольку крупные выступы погло-
щают мелкие при встрече с ними.
С другой стороны,
Δ
h
(
ϕ, t
)
≈
aw
(
t
)
+
h
(
ϕ, t
)
,
(8)
где первое слагаемое призвано компенсировать отсчет
h
(
ϕ, t
)
не от
ближайшего локального минимума функции
r
(
ϕ, t
)
,
а от ее среднего
значения
r
(
t
)
.
Ширина границы
w
при пространственном огрублении изменяется
так же, как и
h
,
поэтому и асимптотическая оценка (7), и аппроксима-
ция (8) приводят к одному и тому же преобразованию для скорости:
v
→
b
χ
v.
(9)
После перенормировки (5), выполненной с учетом формул (6) и
(9),
уравнение (4) принимает вид
b
χ
−
z
∂h
∂t
=
b
2
χ
−
1
v
∂h
r
(
t
)
∂ϕ
+
b
−
(
χ
+
z
)
/
2
η,
который должен быть эквивалентен исходному, что требует выполне-
ния скейлинговых соотношений:
χ
−
z
= 2
χ
−
1
=
−
(
χ
+
z
)
/
2
,
z
= 3
/
4;
χ
= 1
/
4
.
Таким образом,
w r
1
/
4
.
Обозначая большими буквами характеристики завершившейся ла-
вины, получаем для нее
C WR R
5
/
4
,
что с учетом компактности области лавины
S
=
R
2
и дает формулу (2).
124
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012