Рис. 4. Средний периметр лавины данной площади. После нормировки пло-
щади на
L
2
и периметра на
L
5
/
4
графики, полученные при разных размерах
решетки, совпадают для достаточно больших
S
.
Отношение нормировочных
показателей
ν
C
= 5
/
4
и
ν
S
= 2
дает показатель, указанный тонким пунктиром
зависимости (2)
Уравнение роста границы.
Назовем ячейку, затронутую лавиной,
объемной
,
если все ее соседки хотя бы раз опрокинулись в ходе лави-
ны, или
граничной
,
если не все. После завершения лавины объемные
ячейки образуют ее область, граничные — периметр. Геометрические
характеристики лавины не зависят от порядка обработки неустойчи-
вых ячеек. Для удобства описания роста границы ее ячейки начнем
обрабатывать только тогда, когда все внутренние ячейки обретают
устойчивость. Шаг времени свяжем с обработкой граничных ячеек.
Будем характеризовать положение границы в момент времени
t
в
полярных координатах направлением
ϕ
и радиусом
r
(
ϕ, t
)
,
отсчиты-
ваемыми от точки вброса песчинки, инициировавшей лавину. Такое
описание является приближенным, т.к. не позволяет учитывать заги-
бы границы, однако дальнейшее совпадение результатов выкладок и
эксперимента позволяет считать его удовлетворительным.
Критическое состояние является масштабно-инвариантным [1, 2].
Вследствие этого средний радиус области лавины зависит от времени
степенным образом:
r
(
t
)
=
h
r
(
ϕ, t
)
i
t
z
,
где
z
—
динамический показатель
.
Как следует из формулы (2), длина границы возрастает быстрее
ее радиуса, набираясь преимущественно на ее выступах. Поэтому ин-
терес представляет отклонение радиуса по данному направлению от
среднего значения
h
(
ϕ, t
)
=
r
(
ϕ, t
)
−
r
(
t
)
.
Мерой неровности границы служит ее
ширина
w
(
t
)
=
p
h
h
2
(
ϕ, t
)
i
r
χ
(
t
)
,
(3)
где
χ
—
показатель шероховатости
.
122
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012