E
zi
=
1
2
σ
i
X
k
=1
(
F
6
[
ik,
1]
,
F
7
[
ik,
1])
∙
e
ik
σ
i
+
σ
i
X
k
=1
(
F
6
[
ik,
2]
,
F
7
[
ik,
2])
∙
e
ik
σ
i
!
.
Здесь и далее
e
ik
—
единичный вектор, касательный к ребру
ik
и напра-
вленный из
i
-
й вершины в
k
-
ю,
h
ik
—
длина ребра
ik
,
σ
i
—
число ребер,
выходящих из вершины
i
.
Восстановление градиента
r
E
zi
произво-
дится по формуле
r
E
z
≈
1
S
Z
S
r
E
z
dS
=
1
S
Z
∂S
E
z
n dl
(
рис. 2). Этот
интеграл берется численно с использованием вычисленных значений
потоков
~F
[
ij, k
]
.
Для монотонизации решения необходимо провести лимитирование
градиента электрического поля аналогично процедуре, рассмотренной
выше. Для этого на основании значений
E
zi
в узлах нужно рассчитать
средний градиент
r
E
Lim
zi
,
и результирующее значение градиента, ис-
пользуемое далее в расчетах, определить путем применения minmod
функции
r
E
zi
= ˉ
m
(
r
E
zi
,
ν
r
E
Lim
zi
)
.
Используя значения электрического поля и его градиента, можем
построить бездивергентные потоки
~
F
[
ij,
1]
и
~
F
[
ij,
2]
,
отличающиеся
от исходного только компонентами потока магнитного поля:
~
F
l
[
ij, k
]
=
~F
l
[
ij, k
]
,
k
= 1
,
2
,
l
= 1
,
5
,
8
,
~
F
6
[
ij,
1]
,
~
F
7
[
ij,
1]
T
=
=
1
6
3
+
√
3
E
zi
+ 3
− √
3
E
zj
+
1
2
r
E
zi
− r
E
zj
∙
e
ij
h
ij
h
ij
e
ij
,
~
F
6
[
ij,
2]
,
~
F
7
[
ij,
2]
T
=
=
1
6
3
− √
3
E
zi
+ 3 +
√
3
E
zj
+
1
2
r
E
zi
− r
E
zj
∙
e
ij
h
ij
h
ij
e
ij
,
Такое перераспределение потоков сохраняет консервативность схе-
мы и гарантирует бездивергентность решения. Это подтверждается
численными экспериментами и в случае метода первого порядка по-
казано в [5]. При проведении численных экспериментов также выяс-
нилось, что такой подход приводит к сглаживанию разрывов (вносит
в схему численную диссипацию): на 4-5 ячеек для разрывного метода
Галеркина первого порядка, и 2-3 ячейки — для второго.
Тестовые расчеты.
Для оценки свойств построенного метода рас-
смотрено несколько характерных тестовых задач двумерной идеаль-
ной МГД, описанных в литературе [6, 8]. Рассмотрены тесты как с
непрервыным, так и с разрывным решениями. Результаты приведены
104
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012