Z
Γ
e
i,j
r
T
∙
~n dS
=
Z
Γ
e
i,j
r
T
∙
~e
x
dS
≈
Z
Γ
e
i,j
∂T
∂~e
s
~e
s
∙
~e
x
dS
=
=
T
i
+1
,
j
−
T
i,j
|
~s
|
−
Δ
x
m
i
|
~s
|
θ
u
i,j
Δ
y
j
=
(
T
i,j
−
T
i
+1
,
j
)
Δ
x
m
i
(
Δ
x
m
i
)
2
+ (
y
m
i,j
−
y
m
i
+1
,
j
)
2
θ
u
i,j
Δ
y
j
,
где
~s
= (
x
m
i,j
−
x
m
i
+1
,
j
)
~e
x
+(
y
m
i,j
−
y
m
i
+1
,
j
)
~e
y
,
~e
s
=
~s/
|
~s
|
,
Δ
x
m
i
=
|
x
m
i,j
−
x
m
i
+1
,
j
|
—
проекция расстояния между центрами масс ячеек
Ω
i
+1
,
j
и
Ω
i,j
на ось
Ox
.
Дискретизация потока градиента температуры через южную грань
(
через остальные грани соотношения выводятся аналогично):
Z
Γ
s
i,j
r
T
∙
~n dS
=
−
Z
Γ
s
i,j
r
T
∙
~e
y
dS
≈ −
Z
Γ
s
i,j
∂T
∂~e
s
~e
s
∙
~e
y
dS
=
=
−
T
i,j
−
T
i,j
−
1
|
~s
|
−
Δ
y
m
j
−
1
|
~s
|
θ
v
i,j
−
1
Δ
x
i
=
=
(
T
i,j
−
T
i,j
−
1
)
Δ
y
m
j
−
1
(
x
m
i,j
−
x
m
i,j
−
1
)
2
+ (Δ
y
m
j
−
1
)
2
θ
v
i,j
−
1
Δ
x
i
,
где
~s
= (
x
m
i,j
−
x
m
i,j
−
1
)
~e
x
+(
y
m
i,j
−
y
m
i,j
−
1
)
~e
y
,
~e
s
=
~s/
|
~s
|
,
Δ
y
m
j
−
1
=
|
y
m
i,j
−
1
−
y
m
i,j
|
—
проекция расстояния между центрами масс ячеек
Ω
i,j
−
1
и
Ω
i,j
на
ось
Oy
.
Поскольку градиент температуры через твердую грань предпола-
гается известным из граничных условий, то
Z
Γ
ib
i,j
r
T
∙
~n
ib
dS
=
Z
Γ
ib
i,j
∂T
∂~n
ib
dS
=
Ki
(
i, j
)
Δ
S
ib
i,j
,
где Ki
(
i, j
)
=
qL/λ
Δ
T
–
значение теплообменного числа Кирпичева
на твердой грани основной усеченной ячейки
Ω
i,j
,
q
–
тепловой по-
ток через
Γ
ib
i,j
,
Δ
T
–
характерная разность температур,
Δ
S
ib
i,j
–
длина
твердой грани
Ω
i,j
,
~n
ib
–
единичная нормаль к твердой грани ячейки.
Итак, для любой основной жидкой ячейки (усеченной или прямо-
угольной) разностная схема для диффузионного слагаемого на пяти-
точечном шаблоне имеет вид:
Z
Γ
i,j
r
T
∙
~n dS
=
K
TW
(
i, j
)
T
i
−
1
,
j
+
K
TE
(
i, j
)
T
i
+1
,
j
+
K
TP
(
i, j
)
T
i,j
+
+
K
TS
(
i, j
)
T
i,j
−
1
+
K
TN
(
i, j
)
T
i,j
+1
+
S
ib
T i,j
.
Описанная выше методика приводит к симметричной матрице
K
T
,
а именно, будет выполняться:
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
91