Принимается, что температура
T
(
x, y, t
)
характеризуется своим
значением
T
i,j
в центре масс основной ячейки, аппроксимирующим
температуру всюду на
Ω
i,j
.
Интеграл в первом слагаемом уравнения (7) дискретизируется по
аналогии с интегралом в первом слагаемом уравнений Навье–Стокса
(5) (
или (6)), с тем отличием, что рассматриваются основные ячейки,
а не смещенные:
Z
Ω
i,j
T dV
=
V
i,j
T
i,j
,
где
V
i,j
–
объем ячейки
Ω
i,j
.
Второе слагаемое уравнения (7), характеризующее изменение тем-
пературы, обусловленное переносом массы, дискретизируется анало-
гично
Z
Γ
(
~v
∙
~n
)
u dS
.
Конвективный тепловой поток
Z
Γ
i,j
(
~v
∙
~n
)
T dS
представляется в ви-
де суммы потоков через грани
Ω
i,j
:
Z
Γ
i,j
(
~v
∙
~n
)
T dS
=
−
Z
Γ
w
i,j
(
~v
∙
~e
x
)
T dS
+
Z
Γ
e
i,j
(
~v
∙
~e
x
)
T dS
−
−
Z
Γ
s
i,j
(
~v
∙
~e
y
)
T dS
+
Z
Γ
n
i,j
(
~v
∙
~e
y
)
T dS.
(8)
В данной работе рассматривается ситуация, когда граница области
неподвижна и через нее не происходит течения среды. Тогда поток
массы через твердую границу равен нулю
ˉ
U
ib
i,j
= 0
а, следовательно,
конвективный поток теплоты через твердую границу равен нулю и
соответствующее ему слагаемое в выражении (8) отсутствует.
Каждое из слагаемых выражения (8) дискретизируется при помо-
щи численных потоков массы через соответствующие грани
Ω
i,j
и
характерное значение температуры на этих гранях, определяемое как
среднее арифметическое значений температур в двух соседних ячей-
ках. Например, для восточной грани:
Z
Γ
e
i,j
(
~v
∙
~e
x
)
TdS
= ˉ
u
i,j
T
i,j
+
T
i
+1
,
j
2
,
где
ˉ
u
i,j
=
θ
u
i,j
Δ
y
j
u
i,j
аппроксимирует поток массы через восточную
грань
Ω
i,j
.
Итак, для любой основной ячейки (усеченной или прямоугольной)
разностная схема для конвективного слагаемого уравнения (7) на пя-
титочечном шаблоне имеет вид:
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
89