Например, введены определения типов величин — ограниченной,
неограниченной, бесконечно малой, бесконечно большой. Ну и что?
А то, что теперь нужно не просто знать эти типы величин, а вырабо-
тать рефлекс — при встрече с любой величиной видеть ее тип, а для
бесконечно малых и больших еще и порядок (если он есть, разуме-
ется). Генеральная тема анализа — исследование функций. В первом
семестре следует закладывать, так сказать, этические нормы обраще-
ния инженера с функцией: увидев прежде всего область определения,
установить тип во всех интересных промежутках. Скажем, функция
y
=
e
1
x
—
область определения:
x
6
= 0
.
Величина
y
бесконечно мала при
x
→ −
0
,
бесконечно велика при
x
→
+0
(
порядков нет), неограничена
при
x
→
0
,
ограничена при
x
→ ±∞
и при
x
→
x
0
6
= 0
.
Далее — нашли некоторые эквивалентные бесконечно малые. Ну
и что? Теперь их надо объединить в таблицу, осознать и активно ис-
пользовать для установления порядков бесконечно малых. Аналогично
следует установить и использовать относительную скорость роста на
бесконечности логарифмической, степенной и показательной функ-
ций. Присовокупив сюда теоремы о свойствах бесконечно малых и
бесконечно больших, можно будет хотя бы в простейших случаях ви-
деть их порядки. Например:
при
x
→
0 :
x
+ sin
x
2
x, x
2
+ sin
x x, x
+ sin
x
2
x, . . .
;
при
x
→ ∞
:
x
+ sin
x
2
x, x
2
+ sin
x x
2
,
x
+ sin
x x, . . .
и т. д. В более сложных случаях в ´идению типа величины (и порядка)
может помочь формула Тейлора.
Аналогична ситуация при рассмотрении теорем о возрастании-
убывании функции, экстремумах, выпуклости-вогнутости, точках пе-
региба. Изложение теории довольно кратко (2–3 лекции), но только
после многих десятков решенных примеров можно выработать про-
фессиональный взгляд на функцию, что совершенно необходимо для
дальнейшего, но об этом в учебниках ни слова (как и в теме “неопре-
деленный интеграл” и в ряде других).
Тема “графики функций” — самая инженернополезная во всем об-
щем курсе. К сожалению, используемые в нашей практике задачники
давно уже морально устарели: в них график рассматривается не сра-
зу целиком, а в отдельных аспектах (отдельно асимптоты, отдельно
экстремумы. . . ). Подрывается самый смысл анализа — он должен вы-
рабатывать видение геометрических особенностей поведения функций
с помощью аналитических средств. В военном деле имеется четкий
термин — доложите обстановку. Не умеющий это сделать офицер — не
офицер. По итогам первого семестра студент должен уметь “доложить
обстановку” для заданной функции — описать (охарактеризовать) ее
поведение в области определения.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
81