держать в памяти
lim
n
→∞
n
√
n
= 1
—
явное излишество, а то, что
lim
n
→∞
n
n
+ 1
= 1
и
lim
n
→∞
ln
n
n
= 0
—
необходимо (на бесконечности логарифм растет слабее любой сколь
угодно малой степени, а любая сколь угодно большая степень — слабее
показательной).
Следующий тип ошибок в учебной литературе — рекомендация не-
оптимальных способов действий. Например, общая схема нахождения
наклонной асимптоты в простых случаях (практически почти всегда)
совершенно неэффективна (общность-сила оборачивается здесь слабо-
стью), гораздо полезней представить данную функцию в виде суммы
линейной функции и бесконечно малой, скажем:
y
=
x
3
−
2
x
2
+ 1
=
x
−
x
+ 2
x
2
+ 1
.
Простейшим приемом (деление многочленов) мы получили:
y
=
=
x
—
двусторонняя асимптота, выход на нее графика функции сверху
при
x
→ −∞
и снизу при
x
→
+
∞
;
кривая пересекает асимптоту при
x
=
−
2
.
А применение общей схемы хлопот требует гораздо больших
(
найти 4 предела), а информации дает гораздо меньше.
Аналогичный эффект дает в ряде случаев и применение формулы
Тейлора, скажем:
y
= (
x
−
2)
e
1
x
= (
x
−
2) 1
+
1
x
+
1
2
x
2
+
. . .
=
x
−
1
−
3
2
x
+
. . .
Сразу получаем и двустороннюю асимптоту
y
=
x
−
1
,
и выход на
нее графика функции сверху при
x
→ −∞
и снизу при
x
→
+
∞
.
И опять — вычисление четырех пределов требует больших хлопот и
дает меньшую информацию. Попутно формируется инженерная пси-
хология: инженер должен быть трудолюбив — это общеизвестно, но
инженер должен быть и ленив, заставляя работать на себя формулы,
теоремы. . . (а иначе — зачем их изучать?).
Еще пример — дифференцирование неявной функции (одной или
многих переменных — неважно). В литературе рекомендуется исполь-
зовать соответствующую формулу — непонятно зачем, ведь без нее
получается то же самое, только проще. Стоит продифференцировать
обе части равенства (задающего неявную функцию) — и нужная про-
изводная “выскочит” сама собой [3].
Столь же непонятно изложение в литературе вопроса об услов-
ном экстремуме — при разумном геометрическом подходе все заметно
упрощается. Итак: ищем необходимое условие условного экстремума
функции
f
(
x, y
)
при наличии связи
ϕ
(
x, y
)
= 0
. “
Обыграв” колли-
неарность векторов
grad
f
и
grad
ϕ
[3],
сразу получаем и функцию
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
77