C
0
1
(
Λ) =
1
r
∂
∂r
r
∂
Λ
∂r
,
(8)
где
C
0
1
(
Λ) =
∂C
1
(
Λ)
/
∂
Λ
.
Теперь граничные и начальное условия (2) и
(3)
изменятся и для искомой функции примут вид
Λ(
t, R
)
=
Z
T
1
T
λ
(
u
)
du ,
∂
Λ(
t, r
)
∂t
r
=0
= 0
(9)
и
Λ(0
,
r
)
=
Z
T
0
T
λ
(
u
)
du
(10)
соответственно. Можно показать [3], что решение задачи (8)—(10),
представленное в виде функции
T
(
r, t
)
,
будет удовлетворять условию
(4),
если слагаемое
κ
dξ
(
t
)
dt
рассматривать как скорость изменения вну-
тренней энергии при фазовом превращении.
Построение разностной схемы.
Введем конечно-разностную сет-
ку с шагом
Δ
t
по времени и шагом
Δ
r
по радиальной координате. То-
гда, аппроксимировав (8) в соответствии с явной конечно-разностной
схемой, запишем
C
0
1
(
Λ
j
i
)
Λ
j
−
1
i
−
Λ
j
i
Δ
t
=
r
i
+1
/
2
(
Λ
j
i
+1
−
Λ
j
i
)
+
r
i
−
1
/
2
(
Λ
j
i
−
1
−
Λ
j
i
)
r
i
(
Δ
r
)
2
,
(11)
где верхний индекс
j
y узлового значения
Λ
j
i
искомой функции
Λ(
t, r
)
указывает номер шага по времени, а нижний индекс
i
—
номер узла
конечно-разностной сетки по радиальной координате.
Эта схема имеет погрешность
O
((
Δ
r
)
2
,
Δ
t
)
[1].
Устойчивость явной конечно-разностной схемы будет обеспечена,
если в (11) коэффициент при
Λ
j
i
не будет по абсолютному значению
превосходить единицу, т.е.
1
−
2
Δ
t
C
0
1
(
Λ
j
i
)(
Δ
r
)
2
6
1
.
Чтобы при неизменных во времени граничных условиях расчет-
ные значения температуры не совершали физически не реализуемых
колебаний, этот коэффициент не должен быть отрицательным [3]. Это
накладывает ограничение на выбор шага по времени в виде неравен-
ства
Δ
t
6
(
Δ
r
)
2
4
min(
C
0
1
(
Λ))
.
(12)
62
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012