имеем
T
(
t, ξ
(
t
))
=
T
,
где
T
—
температура затвердевания теплоно-
сителя, а из условия баланса тепловой энергии получим
λ
Ж
∂T
(
t, r
)
∂r
r
=
ξ
(
t
)
+
κ
dξ
(
t
)
dt
=
λ
T
∂T
(
t, r
)
∂r
r
=
ξ
(
t
)
,
(4)
где
λ
Ж
и
λ
T
—
значения теплопроводности теплоносителя при
T
=
T
в жидкой и твердой фазах соответственно, а
κ
—
тепловая энергия,
выделяющаяся при затвердевании единицы объема теплоносителя.
Введение вспомогательных функций.
Основная трудность реше-
ния задачи Стефана связана с необходимостью нахождения из условия
(4)
скорости
v
=
dξ
(
t
)
/
dt
движения границы раздела фаз. Этого мож-
но избежать, если ввести функцию объемной плотности внутренней
энергии [1]
C
(
T
)
=
T
Z
T
(
c
(
u
)
+
κδ
(
u
−
T
))
du
(5)
и Кирхгофа
Λ(
T
)
=
T
Z
T
λ
(
u
)
du,
(6)
где
T
—
нижняя грань множества ожидаемых значений температу-
ры в рассматриваемой задаче, а
δ
(
u
−
T
)
—
дельта-функция Дирака,
обладающая при
T
2
(
T , T
)
свойством
T
Z
T
δ
(
u
−
T
)
du
= 1
.
Если объемная теплоемкость теплоносителя явно не зависит от
времени, а его теплопроводность явно не зависит от радиальной коор-
динаты, т.е. твердая и жидкая фазы в рассматриваемой области явля-
ются однородными, то (1) с учетом (5) и (6) примет вид [2]
∂C
∂t
=
1
r
∂
∂r
r
∂
Λ
∂r
(7)
и будет содержать две неизвестные функции
C
и
Λ
,
зависящие от
t
и
r
.
Так как
λ
(
T
)
>
0
и эта функция может иметь при
T
=
T
лишь
конечный разрыв, то функция
Λ(
T
)
является непрерывной и возраста-
ющей, а поэтому имеет также непрерывную обратную функцию
T
(
Λ)
.
Тогда можно построить композицию функций
C
1
(
Λ) =
C
(
T
(
Λ))
,
что
позволяет вместо (7) записать
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
61