УДК 517.9
В. С. З а р у б и н, М. М. Л у к а ш и н
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССА ЗАТВЕРДЕВАНИЯ
ТЕПЛОНОСИТЕЛЯ ВНУТРИ ТРУБЧАТОГО
ЭЛЕМЕНТА МЕТОДОМ СКВОЗНОГО
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СТЕФАНА
Предложен численный метод решения задачи Стефана, использу-
ющий вспомогательные функции: объемной плотности внутренней
энергии и Кирхгофа. Это позволяет найти нестационарное темпе-
ратурное поле в области с подвижной границей раздела фаз путем
сквозного счета. Метод применен для расчета затвердевания жид-
кометаллического теплоносителя в трубчатом элементе.
E-mail:
zarubin@bmstu.ru,
mixail.lukashin@mail.ru
Ключевые слова
:
задача Стефана, фазовый переход, плотность вну-
тренней энергии, функция Кирхгофа, раздел фаз
Область решения задачи.
Внутри трубчатого элемента, радиус
внутренней поверхности которой
R
,
находится теплоноситель.
Если считать теплоноситель неподвижным, что является более
жестким условием по сравнению с действительностью, и не учиты-
вать изменение температуры вдоль оси трубки, то расчет процесса
затвердевания жидкометаллического теплоносителя можно свести к
решению одномерной осесимметричной задачи Стефана.
Математическая формулировка задачи Стефана.
Нестационар-
ное температурное поле для каждой из фаз теплоносителя удовлетво-
ряет одномерному нелинейному уравнению теплопроводности
c
(
T
)
∂T
(
t, r
)
∂t
=
1
r
∂
∂r
λ
(
T
)
r
∂T
(
t, r
)
∂r
,
(1)
где
T
(
t, r
)
—
искомая зависимость температуры от времени и ради-
альной координаты
r
,
отсчитываемой от оси трубки;
c
(
T
)
,
λ
(
T
)
—
за-
висящие от температуры объемная теплоемкость и теплопроводность
теплоносителя. Примем, что на внешней границе постоянно поддер-
живается температура
T
1
,
т.е. граничные условия имеют вид
T
(
t, R
)
=
T
1
,
∂T
(
t, r
)
∂t
r
=0
= 0
.
(2)
Пусть в начальный момент времени
t
= 0
температура теплоноси-
теля равна
T
0
,
т.е. начальным условием является
T
(0
,
r
)
=
T
0
.
(3)
На движущейся границе между твердой и жидкой фазами теплоно-
сителя, имеющей зависящую от времени радиальную координату
ξ
(
t
)
,
60
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012