Замыкание уравнений для функции плотности вероятности.
Для получения замкнутого уравнения для функции плотности веро-
ятности в переменных Эйлера (16) необходимо вычислить корреля-
ции
h
u
i
(
x
,
t
)
∂ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
/
∂x
i
i
и
h
ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂u
i
(
x
,
t
)
/
∂x
i
i
.
Для дельта-
коррелированного во времени случайного процесса Гаусса
u(x
,
t
)
расщепление корреляций осуществляем с использованием формулы
Фурутсу-Новикова [6, 7]. Методика работы с функциональными про-
изводными описана ниже в разделе 6.
Выражение для функциональной производной от индикаторной
функции в описании Эйлера (7) следует из уравнения (11)
δϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
δu
j
(
y
,
t
−
0)
=
=
−
δ
(
x
−
y)
∂ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂x
j
+
∂δ
(
x
−
y)
∂x
j
∂
∂ρ
{
ρϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
}
.
(18)
Используя выражение (18) и формулу Фурутсу-Новикова, получа-
ем замкнутое представление для корреляций в уравнении в перемен-
ных Эйлера (16)
u
i
(
x
,
t
)
∂ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂x
i
=
=
−
T
E
u
2
i
∂
2
Φ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂x
i
∂x
i
−
T
E
*
∂u
i
∂x
i
2
+
∂
∂ρ
{
ρ
Φ
E
(
ρ,
x
,
t
)
}
,
(19)
∂u
i
(
x
,
t
)
∂x
i
Φ
E
(
ρ,
x
,
t
)
=
T
E
*
∂u
i
∂x
i
2
+
∂
∂ρ
{
ρ
Φ
E
(
ρ,
x
,
t
)
}
.
(20)
Подставив формулы (19) и (20) в уравнение (16), получаем замкнутое
уравнение для ФПВ распределения концентрации частиц в перемен-
ных Эйлера
∂
Φ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂t
−
T
E
u
2
i
∂
2
Φ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂x
i
∂x
i
=
=
T
E
*
∂u
i
∂x
i
2
+
∂
2
∂ρ
2
ρ
2
Φ
E
(
ρ,
x
,
t
)
.
(21)
Уравнение (21) описывает два физических процесса. Во-первых,
диффузию частиц в физическом пространстве с коэффициентом диф-
фузии, обусловленным энергоемкими флуктуациями несущей среды
D
E
=
T
E
h
u
2
i
i
.
Во-вторых, изменение структуры распределения кон-
центрации частиц. Этот эффект связан с микромасштабными случай-
ными движениями жидкой фазы и его интенсивность пропорциональ-
на осредненному квадрату дивергенции флуктуаций скорости несущей
среды
(
∂u
i
/
∂x
i
)
2
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
51