Уравнение для расчета средней концентрации частиц в физиче-
ском пространстве
h
ρ
(
x
,
t
)
i
=
∞
Z
0
ρ
Φ
E
(
ρ,
x
,
t
)
dρ
следует из (21) при
интегрировании по всему пространству концентраций. Учитывается,
что ФПВ обращается в нуль при нулевом и бесконечном значениях
концентрации частиц
∂
h
ρ
(
x
,
t
)
i
∂t
=
D
E
Δ
h
ρ
(
x
,
t
)
i
.
Начальное распределение концентрации следует из начального
условия (12)
h
ρ
(
x
,
0)
i
=
ρ
◦
(
x)
.
ФПВ распределения случайной концентрации частиц в произволь-
ной точке пространства
Φ
E
(
ρ, t
)
равна
Φ
E
(
ρ, t
)
=
Z
Φ
E
(
ρ,
x
,
t
)
d
x
.
Уравнение для расчета
Φ
E
(
ρ, t
)
вытекает из (21) при интегрирова-
нии по всему физическому пространству
∂
Φ
E
(
ρ, t
)
∂t
=
T
E
*
∂u
i
∂x
i
2
+
∂
2
∂ρ
2
ρ
2
Φ
E
(
ρ, t
)
.
(22)
Начальное условие для уравнения (22)
Φ
◦
E
(
ρ
)
= Φ
E
(
ρ,
0)
=
δ
(
ρ
−
ρ
◦
)
.
Для вывода замкнутого уравнения для ФПВ в переменных Ла-
гранжа (17) необходимо вычислить корреляции флуктуаций скоро-
сти и ее производных с индикаторной функцией
h
u
i
(
x
,
t
)
ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
i
и
h
ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
∂u
i
(
x
,
t
)
/
∂x
i
i
.
Выражение для функциональной производной от индикаторной
функции следует из уравнения (15)
δϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
δu
j
(
y
,
t
−
0)
=
=
−
∂
∂x
j
{
δ
(
x
−
y)
ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
}
+
∂δ
(
x
−
y)
∂x
j
∂
∂ρ
{
ρϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
}
.
(23)
На основе выражения (23) и формулы Фурутсу-Новикова получаем
замкнутое представление для корреляций индикаторной функции в
переменных Лагранжа (17)
h
u
i
(
x
,
t
)
ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
i
=
−
T
E
u
2
i
∂
∂x
i
Φ
L
(
ρ,
x
,
t
)
,
(24)
∂u
i
(
x
,
t
)
∂x
i
ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
=
T
E
*
∂u
i
∂x
i
2
+
∂
∂ρ
ρ
2
∂
∂ρ
Φ
L
(
ρ,
x
,
t
)
.
(25)
Подставив формулы (24) и (25) в уравнение (17), находим замкну-
тое уравнение для ФПВ распределения концентрации частиц вдоль
52
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012