флуктуаций скорости несущей фазы приводит к функциям плотности
вероятности (ФПВ) распределения случайных концентраций частиц.
В переменных Эйлера ФПВ имеет вид
Φ
E
(
ρ,
x
,
t
)
=
h
ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
i
=
h
δ
(
ρ
−
ρ
(
x
,
t
))
i
.
Осреднение уравнения для индикаторной функции (11) приводит
к незамкнутому уравнению для ФПВ в переменных Эйлера [6]
∂
Φ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂t
+
u
i
(
x
,
t
)
∂ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂x
i
=
=
∂
∂ρ
ρ
∂u
i
(
x
,
t
)
∂x
i
ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
.
(16)
ФПВ определена в диапазоне
0
< ρ <
∞
и удовлетворяет следую-
щим ограничениям
Φ
E
(
ρ, t
)
|
ρ
=0
=
= 0
,
Φ
E
(
ρ, t
)
|
ρ
→∞
→
0
,
∂
n
Φ
E
(
ρ, t
)
∂ρ
n
ρ
→∞
→
0
,
∞
Z
0
Φ
E
(
ρ, t
)
dρ
= 1
.
Корреляции между индикаторной функцией и случайной скоро-
стью среды и ее производными нуждаются в раскрытии. Это будет
сделано в дальнейшем в приближении дельта-коррелированных во
времени флуктуаций скорости несущей среды.
ФПВ распределения концентрации в описании Эйлера позволяет
вычислить моменты плотности частиц
h
ρ
n
E
(
x
,
t
)
i
=
∞
Z
0
ρ
n
Φ
E
(
ρ,
x
,
t
)
dρ
.
В переменных Лагранжа функция плотности вероятности получа-
ется в результате осреднения по ансамблю случайных реализаций поля
скорости жидкой фазы
Φ
L
(
ρ,
x
,
t
)
=
h
ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
i
=
δ ρ
−
ρ
X
(
α
)
(
t
)
,
t δ
x
−
X
(
α
)
(
t
)
.
Незамкнутое уравнение для функции плотности вероятности в пе-
ременных Лагранжа [6] следует из (15)
∂
Φ
L
(
ρ,
x
,
t
)
∂t
+
∂
∂x
i
h
u
i
(
x
,
t
)
ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
i
=
=
∂
∂ρ
ρ
∂u
i
(
x
,
t
)
∂x
i
ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
.
(17)
Моменты случайной концентрации в переменных Лагранжа нахо-
дятся по формуле
h
ρ
n
L
(
x
,
t
)
i
=
∞
Z
0
ρ
n
Φ
L
(
ρ,
x
,
t
)
dρ
.
50
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012