Уравнение незамкнуто относительно функции
ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
.
Однако
можно заметить, что последнее слагаемое в (9) преобразуется к виду
∂ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂x
i
=
−
∂
∂ρ
ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂ρ
(
x
,
t
)
∂x
i
.
(10)
С учетом (10) и (9) получаем замкнутое уравнение для индикатор-
ной функции в переменных Эйлера
∂ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂t
+
u
i
(
x
,
t
)
∂ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂x
i
=
∂u
i
(
x
,
t
)
∂x
i
∂
∂ρ
{
ρϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
}
.
(11)
Начальное значение индикаторной функции в переменных Эйлера
имеет вид
ϕ
◦
E
(
ρ,
x) =
ϕ
E
(
ρ,
x
,
0)
=
δ
(
ρ
−
ρ
◦
(
x))
.
(12)
Здесь
ρ
◦
(
x)
—
начальное распределение концентрации частиц.
В переменных Лагранжа вводим индикаторную функцию, описы-
вающую изменение концентрации дисперсной примеси вдоль выде-
ленной случайной траектории частицы
α
ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
=
δ ρ
−
ρ
X
(
α
)
(
t
)
,
t δ
x
−
X
(
α
)
(
t
)
.
(13)
В результате дифференцирования
ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
(13)
по времени, запи-
сываем
∂ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
∂t
=
=
−
∂
∂ρ
ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
dρ
X
(
α
)
(
t
)
,
t
dt
−
∂
∂x
i
ϕ
L
(
ρ,
d
x, t
)
dX
(
α
)
i
(
t
)
dt
.
(14)
Используя в (14) уравнение (6) для изменения концентрации ча-
стиц вдоль траектории частицы
α
,
получаем замкнутое уравнение для
индикаторной функции в переменных Лагранжа [6]
∂ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
∂t
+
∂
∂x
i
{
u
i
(
x
,
t
)
ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
}
=
=
∂
∂ρ
ρ
∂u
i
(
x
,
t
)
∂x
i
ϕ
L
(
ρ,
x
,
t
)
.
(15)
Начальное значение индикаторной функции в переменных Лагран-
жа задает начальную координату выделенной частицы и начальное
значение плотности на ее траектории
ρ
◦
(
x)
ϕ
◦
L
(
ρ,
x) =
ϕ
L
(
ρ,
x
,
0)
=
δ
(
ρ
−
ρ
◦
(
x))
δ
x
−
X
(
α
)
(0)
.
Из уравнений (11) и (15) видна существенная разница в индика-
торных функциях в переменных Эйлера и Лагранжа.
Уравнения для функций плотности вероятности Эйлера и Лаг-
ранжа.
Осреднение индикаторных функций по ансамблю реализаций
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
49