тральной функции (34) приобретает вид
W
(
k, t
)
e
−
t
τ
=
2
π
Dk
t
Z
0
e
−
Dk
2
(
t
−
s
)
ψ
(
s
)
e
−
s
τ
ds,
(36)
где
D
=
a
2
τ/
2
—
коэффициент диффузии газа.
Принимая во внимание преобразование функций (16), (20) и (36),
для спектральной функции
U
(
k, t
)
=
W
(
k, t
)
e
−
t
τ
получаем
U
(
k, t
)
=
2
π
Dk
t
Z
0
e
−
Dk
2
(
t
−
s
)
ϕ
(
s
)
d
s,
(37)
где
ϕ
(
s
)
=
ψ
(
s
)
e
−
s
τ
—
значение искомой функции на границе полупро-
странства.
Интегралы в прямом и обратном преобразованиях Фурье (21a) и
(21
б) для решения (37) находим методом дифференцирования по па-
раметру. Рассматривается следующий интеграл
J
1
(
m
)
=
∞
Z
0
cos(
mx
)
e
−
a
2
x
2
dx
(38)
как функцию параметра
m
.
Значение интеграла при
m
= 0
известно
J
1
(0)
=
∞
Z
0
e
−
a
2
x
2
dx
=
√
π
2
a
.
(39)
Дифференцируя (38) по параметру
m
,
получаем интеграл
dJ
1
(
m
)
dm
=
−
∞
Z
0
x
sin(
mx
)
e
−
a
2
x
2
dx
=
−
J
2
(
m
)
.
(40)
Интегрирование по частям
J
2
(
m
)
приводит к результату
∞
Z
0
x
sin(
mx
)
e
−
a
2
x
2
dx
=
−
1
2
a
2
e
−
a
2
x
2
sin(
mx
)
∞
0
+
+
m
2
a
2
∞
Z
0
cos(
mx
)
e
−
a
2
x
2
dx
=
m
2
a
2
J
1
(
x
)
.
Из (38) и (39) следует дифференциальное уравнение для интеграла
J
1
(
m
)
с начальным условием (39)
dJ
1
(
m
)
dm
=
−
m
2
a
2
J
1
(
m
)
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
43