Начальные условия для уравнения (25) вытекают из условий (18)
W
(
k,
0)
= 0
,
dW
(
k, t
)
dt
t
=0
= 0
.
(26)
Решение уравнения (25) с начальными условиями (26) имеет вид
W
(
k, t
)
=
2
π
a
2
k
Ω
k
t
Z
0
sin [Ω
k
(
t
−
s
)]
ψ
(
s
)
ds.
(27)
Преобразование спектра к физическому пространству производится
на основе интегрирования по формуле (21б).
Частные решения. Анализ результатов.
В этом разделе иллю-
стрируется, что из общего решения (27) следуют два предельных слу-
чая. Во-первых, прохождение газа через разреженный слой частиц. В
этом случае решение должно совпадать с решением для распростране-
ния звуковой волны в свободном канале. Во втором предельном случае
фильтрации газа через плотный слой частиц решение (27) должно пе-
реходить в решение о диффузии газа в полупространстве.
Разреженный зернистый слой.
Для разреженного слоя частиц
ε
→
1
потери давления, связанные с трением о частицы, существен-
но меньше, чем изменение давления в результате сжимаемости газа
τ
→ ∞
.
В этом случае
Ω
2
k
=
a
2
k
2
и выражение для спектральной функ-
ции (27) принимает вид
W
(
k, t
)
=
2
π
a
t
Z
0
sin [
ak
(
t
−
s
)]
ψ
(
s
)
ds.
(28)
Подстановка (28) в (21б) приводит к формуле
w
(
x, t
)
=
2
π
a
t
Z
0
ds ψ
(
s
)
∞
Z
0
sin [
ak
(
t
−
s
)]
sin(
kx
)
dk.
(29)
Рассмотрим интеграл в (29), используя представления синусов, по-
лучаем
I
=
2
π
∞
Z
0
sin(
kx
)
sin [
ak
(
t
−
s
)]
d
k
=
=
−
1
2
π
∞
Z
0
e
ikx
−
e
−
ikx
e
iak
(
t
−
s
)
−
e
−
iak
(
t
−
s
)
dk
=
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
41