Используем синус преобразование Фурье [7]
W
(
k, t
)
=
2
π
∞
Z
0
w
(
x, t
)
sin(
kx
)
dx,
(21
а)
w
(
x, t
)
=
∞
Z
0
W
(
k, t
)
sin(
kx
)
dk,
(21
б)
где
k
—
волновое число.
Применяя одностороннее преобразование Фурье (21a) к уравне-
нию (17), получаем для слагаемых в правой части следующие выра-
жения
2
π
∞
Z
0
sin(
kx
)
∂
2
w
(
x, t
)
∂t
2
dx
=
=
∂
2
∂t
2
2
π
∞
Z
0
sin(
kx
)
w
(
x, t
)
dx
=
d
2
W
(
k, t
)
dt
2
.
(22)
При записи (22) волновое число рассматривается как параметр.
Операция одностороннего преобразования Фурье (21a) для первого
слагаемого в левой части (17) приводит к следующему результату
a
2
2
π
∞
Z
0
sin(
kx
)
∂
2
w
(
x, t
)
∂x
2
dx
=
a
2
2
π
sin(
kx
)
∂w
(
x, t
)
∂x
∞
0
−
−
a
2
k
2
π
∞
Z
0
cos(
kx
)
∂w
(
x, t
)
∂x
dx
=
−
a
2
2
π
cos(
kx
)
w
(
x, t
)
|
∞
0
−
−
a
2
k
2
2
π
∞
Z
0
sin(
kx
)
w
(
x, t
)
dx
=
2
π
a
2
kψ
(
t
)
−
a
2
k
2
W
(
k, t
)
.
(23)
При записи (23) использованы условия на бесконечности (19) и
граничное условие (20). Из (17), (22) и (23) получаем обыкновенное
дифференциальное уравнение для спектральной функции
W
(
k, t
)
d
2
W
(
k, t
)
dt
2
+ Ω
2
k
W
(
k, t
)
=
2
π
a
2
kψ
(
t
)
.
(24)
Здесь квадрат частоты
Ω
2
k
равен
Ω
2
k
=
a
2
k
2
−
1
τ
2
.
(25)
40
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012