Рассматривается фильтрация газа в полупространстве
0
≤
x <
∞
.
На
большом удалении от входа в слой выполняются условия
G
(
x, t
)
→
0
,
∂G
(
x, t
)
∂x
→
0
при
x
→ ∞
.
(15)
Из уравнения (12) следует, что транспорт газа через зернистый слой
может происходить в двух принципиально различных режимах. В пер-
вом случае, при разреженном слое частиц
ε
→
1
следует
τ
→ ∞
.
Урав-
нение (12) соответствует гиперболическому типу и описывает движе-
ние газа со скоростью звука. Вовлечение слоя частиц в движение газа
будет незначительным. Во втором случае для плотного слоя частиц
ε <
1
уравнение (12) принадлежит параболическому типу и описы-
вает диффузию газа через слой с эффективным коэффициентом диф-
фузии
D
=
τa
2
.
Режим низкоскоростной фильтрации газа через слой
приведет к увлечению частиц потоком газа и транспорту дисперсного
материала.
Впервые телеграфное уравнение было получено в работе Макс-
велла при изучении прохождении электрического сигнала по длин-
ному кабелю. В работах Катаннео телеграфное уравнение модели-
рует неравновесные (релаксационные) эффекты в теплопроводности
(
см., например, [6]).
Решение телеграфного уравнения в полупространстве.
Реше-
ние телеграфного уравнения (12) с начальными и граничными усло-
виями (13) — (15) ищется методом одностороннего преобразования
Фурье [7]. Используется замена функции
G
(
x, t
)
=
w
(
x, t
)
e
−
t
τ
.
(16)
Для функции
w
(
x, t
)
из (12) получаем уравнение в виде
∂
2
w
(
x, t
)
∂t
2
=
a
2
∂
2
w
(
x, t
)
∂x
2
+
1
τ
2
w
(
x, t
)
.
(17)
Начальные условия вытекают из (13)
w
(
x,
0)
= 0
,
∂w
(
x, t
)
∂t
t
=0
= 0
.
(18)
Поведение функции на бесконечности следует из (15)
w
(
x, t
)
→
0
,
∂w
(
x, t
)
∂x
→
0
при
x
→ ∞
.
(19)
Граничное условие при
x
= 0
(14)
переписывается с учетом (16) в
виде
w
(0
,
t
)
=
ψ
(
t
)
=
G
◦
(
t
)
e
t
τ
.
(20)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
39