Расход газа в слое равен
G
= 2
π
R
◦
Z
0
ερU
x
rdr.
(7)
Проводя осреднение по сечению в уравнении баланса массы (3), на-
ходим
S
◦
∂ε
˜
ρ
∂t
+
∂G
∂x
= 0
.
(8)
Осреднение уравнения баланса импульса (20) приводит к результату
∂G
∂t
+
∂
∂x
 
2
π
R
◦
Z
0
ερU
2
x
rdr
 
=
−
S
◦
∂εP
∂x
−
2
G
τ
.
(9)
При фильтрации через достаточно длинный однородный слой ча-
стиц конвективным слагаемым в уравнении (9) можно пренебречь. В
результате получается система уравнений вида
∂G
∂t
+
S
◦
∂εP
∂x
+ 2
G
τ
= 0
,
(10
а)
S
◦
∂ε
˜
ρ
∂t
+
∂G
∂x
= 0
.
(10
б)
Используя уравнение состояния газа, записываем градиент давления
в виде
∂P
∂x
=
∂P
∂ρ
S
∂
˜
ρ
∂x
=
a
2
∂
˜
ρ
∂x
.
Здесь
a
=
p
∂P/∂ρ
|
S
—
скорость звука в газе.
Раскрыв производную от давления в (10a) через уравнение состо-
яния газа, получаем
∂G
∂t
+
S
◦
a
2
∂ε
˜
ρ
∂x
+
2
τ
G
= 0
.
(11)
Исключив из (11) и уравнения (10б) плотность газа, приходим к
уравнению баланса расхода газа в неподвижном слое
2
τ
∂G
(
x, t
)
∂t
+
∂
2
G
∂t
2
=
a
2
∂
2
G
∂x
2
.
(12)
Уравнение (12) называется телеграфным уравнением. Начальные
условия — отсутствие импульса газа в зернистом слое
G
(
x,
0)
= 0
,
∂G
(
x, t
)
∂t
t
=0
= 0
.
(13)
На входе в слой задано изменение расхода газа во времени
G
(
x, t
)
=
G
◦
(
t
)
,
G
◦
(
t
)
= 0
при
t
≤
0
.
(14)
38
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012