(
если
k >
1
)
или убывающей (если
k <
1
),
и значит любое свое
значение она принимает только один раз.
Докажем
необходимость
условия
a
+
b
=
c
+
d
для эквивалентности
уравнений (7) и (8). Пусть эти уравнения эквивалентны. Это означает,
что единственное решение (9) уравнения (8) является также и един-
ственным решением уравнения (7). Значит при
x
= (
−
a
+
b
+
c
−
d
)
/
2
уравнение (7) становится истинным равенством чисел:
(
k
a
+
x
−
k
b
−
x
)
x
=
−
a
+
b
+
c
−
d
2
=
k
c
−
k
d
,
k
a
+
−
a
+
b
+
c
−
d
2
−
k
b
−
−
a
+
b
+
c
−
d
2
=
k
c
−
k
d
,
k
a
+
b
+
c
−
d
2
−
k
−
−
a
−
b
+
c
−
d
2
=
k
c
−
k
d
,
k
a
+
b
+
c
−
d
2
−
k
a
+
b
−
c
+
d
2
=
k
c
−
k
d
,
k
a
+
b
2
k
c
−
d
2
−
k
−
c
+
d
2
=
k
c
−
k
d
.
(11)
Поскольку
c
6
=
d
,
то
(
c
−
d
)
/
2
6
= (
−
c
+
d
)
/
2
,
и
k
c
−
d
2
6
=
k
−
c
+
d
2
.
Тогда из
(11)
получаем:
k
a
+
b
2
=
k
c
−
k
d
k
c
−
d
2
−
k
−
c
+
d
2
,
k
a
+
b
2
=
k
c
+
d
2
+
c
−
d
2
−
k
c
+
d
2
−
c
−
d
2
k
c
−
d
2
−
k
−
c
+
d
2
,
k
a
+
b
2
=
k
c
+
d
2
k
c
−
d
2
−
k
−
c
−
d
2
k
c
−
d
2
−
k
−
c
+
d
2
,
k
a
+
b
2
=
k
c
+
d
2
,
a
+
b
=
c
+
d.
Утверждение доказано.
Следствие.
Если условие (10) выполняется, то решение уравнения
вида (7) быстрым “методом отбрасывания” оснований
k
и непосред-
ственного получения линейного уравнения вида (8) является верным
(
корректным, законным).
В заключение отметим следующее. Когда автор-составитель задач
решает дать на экзамене или олимпиаде уравнение вида (7), то мож-
но предположить, что параметры
a
,
b
,
c
и
d
для этого уравнения он
выбирает довольно произвольно, или, иначе говоря, случайным обра-
зом. Другими словами, вектор параметров
(
a, b, c, d
)
случайным обра-
зом выбирается из четырехмерного арифметического пространства
R
4
,
или, во всяком случае, из значительного его подмножества, имеюще-
го значительную (не нулевую) меру. А это означает, при случайном
выборе вектора параметров уравнения (7) вероятность попасть этому
вектору в гиперпространства, определяемые уравнениями
a
+
b
=
c
+
+
d
или
c
=
d
,
равна нулю. Но тогда уравнения вида (7) с условием
(10)
на практике либо вовсе не должны появляться, либо это должно
происходить крайне редко. Однако, как мы отмечали в начале статьи,
уравнения вида (7) с условием (10) в олимпиадной и вступительной
практике появляются довольно регулярно. В чем причина этого “па-
радокса”?
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
21