На самом деле, переход (преобразование, если его можно таковым
считать) от (5) к (6) является не безусловно эквивалентным (верным)
преобразованием, а лишь условно эквивалентным. При этом условие
этой эквивалентности содержится в следующем утверждении.
Утверждение
.
Для всякого действительного числа
k >
0
,
k
6
= 1
,
уравнение
k
a
+
x
−
k
b
−
x
=
k
c
−
k
d
(7)
относительно действительного переменного
x
эквивалентно уравне-
нию
(
a
+
x
)
−
(
b
−
x
)
=
c
−
d,
(8)
получающемуся из него путем отбрасывания основания
k
и имеющему
единственное решение
x
=
−
a
+
b
+
c
−
d
2
,
(9)
тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия на пара-
метры
a
,
b
,
c
и
d
этого уравнения:
a
+
b
=
c
+
d
или
c
=
d.
(10)
Доказательство.
A) Пусть сначала
c
=
d
.
Тогда мы имеем уравнение
k
a
+
x
=
k
b
−
x
,
единственным решением которого, очевидно, является число
x
= (
−
a
+
+
b
)
/
2
= (
−
a
+
b
+
c
−
d
)
/
2
,
которое также является и единственным
решением уравнения
(
a
+
x
)
−
(
b
−
x
)
= 0 (=
c
−
d
)
.
Поэтому уравнения
(7)
и (8) эквивалентны.
Б) Пусть теперь
c
6
=
d
.
Докажем
достаточность
условия
a
+
b
=
c
+
+
d
для эквивалентности уравнений (7) и (8). Из этого условия полу-
чаем
a
=
−
b
+
c
+
d
,
и потому решение (9) линейного уравнения (8)
принимает вид
x
=
−
a
+
b
+
c
−
d
2
=
(
b
−
c
−
d
)
+
b
+
c
−
d
2
=
b
−
d.
Тогда
x
+
a
= (
b
−
d
)
+
a
= (
b
−
d
)
+ (
−
b
+
c
+
d
)
=
c,
b
−
x
=
b
−
(
b
−
d
)
=
d,
и уравнение (7) превращается в тождество:
k
c
−
k
d
=
k
c
−
k
d
.
Таким образом, решение (9) уравнения (8) также является и реше-
нием уравнения (7).
Остается доказать, что уравнение (7) не имеет других решений.
Это очевидно, поскольку функция
k
a
+
x
−
k
b
−
x
является возрастающей
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012