Причиной является. . . доброта составителей задач, которые жалея
абитуриентов, как правило, стараются подобрать такие параметры за-
дачи, чтобы она имела “хорошие” ответы. Под “хорошими” ответа-
ми понимают целые или рациональные числа. Но как оказывается,
именно выполнение условий (10) гарантирует рациональность реше-
ния уравнения (7) с рациональными параметрами
a
,
b
,
c
и
d
.
В самом
деле, решая уравнение (7) с произвольными параметрами
a
,
b
,
c
и
d
,
и
применяя только законные математические преобразования, получаем
k
a
+
x
−
k
b
−
x
=
k
c
−
k
d
, /
замена
y
=
k
x
/,
k
a
y
2
−
(
k
c
−
k
d
)
y
−
k
b
= 0
,
y
1
/
2
=
k
c
−
k
d
±
p
(
k
c
−
k
d
)
2
+ 4
k
a
+
b
2
k
a
,
k
x
=
k
c
−
k
d
+
p
(
k
c
−
k
d
)
2
+ 4
k
a
+
b
2
k
a
.
Нетрудно видеть, что автор-составитель задачи может добиться раци-
ональности решения
x
двумя способами: за счет равенства
c
=
d
или
за счет равенства
a
+
b
=
c
+
d
.
В первом случае имеем тривиальное
уравнение
k
a
+
x
−
k
b
−
x
= 0
с очевидным решением
x
= (
b
−
a
)
/
2
.
Во
втором случае получаем
y
1
/
2
=
k
c
−
k
d
±
(
k
c
+
k
d
)
2
k
a
=
k
c
−
a
,
−
k
d
−
a
,
k
x
=
k
c
−
a
,
x
=
c
−
a.
Таким образом, автор-составитель задачи, исходя из невинного ка-
залось бы желания чуть-чуть упростить труд абитуриенту (сделать
рациональными решения уравнений), незаметно для себя упрощает
труд абитуриенту чрезмерно: решение задачи потенциально средней
трудности сводится к двум элементарным действиям, одно из которых
является в принципе неверным, а верным лишь условно (в данном
контексте). Однако абитуриент, как правило, этого контекста не видит,
выполняет неправильные математические преобразования, но полу-
чает правильный ответ. И при грамотном апеллировании этот аби-
туриент, не имеющий представления о правильных математических
преобразованиях, может получить хороший балл за эту задачу.
Вывод
:
при включении в экзамены и олимпиады задачи вида (7)
следует избегать выполнения условий (10).
Статья поступила в редакцию 05.09.2012
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012