заменить модулем упрочнения (касательным модулем)
E
t
:
p
t
=
π
2
E
t
I
L
2
.
(2)
Первоначально к этому пришел Ф. Энгессер, [2]. Но его теория
подверглась критике со стороны Ф.С. Ясинского, [3]: если стержень
под воздействием критической силы
p
t
(
возможная бифуркация) изги-
бается, материальные волокна сечений с выпуклой стороны стержня
начнут разгружаться (состояние
BC
,
рис. 1), и жесткость на изгиб,
например, срединного по длине сечения станет больше значения, вы-
численного по касательному модулю.
Следовательно, при силе
p
t
бифуркации в смысле Эйлера не будет.
Энгессер воспринял критику и ввел понятие приведенного модуля,
который для прямоугольного сечения вычислил в виде, [4]:
E
K
=
4
EE
t
√
E
+
√
E
t
2
.
(3)
Т. Карман в своей докторской диссертации распространил понятия
касательного и приведенного модулей на материалы с произвольной
диаграммой
σ ε
.
Были поставлены эксперименты по продольному
изгибу, до сих пор являющиеся образцовыми, [5].
Приводим интерпретацию идей Кармана, данную А.С. Вольми-
ром, [6].
Объединим формулы (1)–(3):
P
кр
=
π
2
˜
EI
L
2
,
(4)
где
˜
E
принимает значения
E
,
E
t
,
E
K
в зависимости от обстоятельств.
Из формулы (4):
P
кр
=
π
2
˜
EF
λ
2
)
P
кр
F
=
σ
кр
=
π
2
˜
E
λ
2
.
(5)
Здесь
F
=
const — площадь поперечного сечения, м
2
;
λ
=
L
r
—
гиб-
кость стержня;
r
—
радиус инерции сечения, м.
Из (5) получим гибкость как функцию критического напряжения:
λ
=
π
s
˜
E
σ
кр
.
(6)
В [6] приведены данные об авторском эксперименте по продоль-
ному изгибу дюралюминовых стержней прямоугольного сечения.
Пусть, например, напряжение
σ
1
σ
1
=
P
1
F
есть критическое на-
пряжение (бифуркационное). На диаграмме
σ ε
находится точка
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012