4 / 17
А.Г. Андреев, Г.В. Казаков, В.В. Корянов
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 7·2016
ности отношения
А
следует, что имеет место отношение
zAy
, а из
транзитивности отношения
А
следует, что из выполнения
xAz
и
zAy
вытекает справедливость отношения
хАу
.
Выберем произвольный элемент
.
Y
q M
По определению имеем
yAq
. Из
хАу
и
yAq
следует, что
хАq
, т. е.
.
X
q M
Отсюда
Y
X
M M
. (3)
Выберем теперь произвольный элемент
X
z M
, для которого
выполнено
zАх
. По симметрии отношения
А
имеем
хАz
. Из транзи-
тивности отношения
А
имеем
уАх
и
хАz
, откуда следует справедли-
вость
yAz
. Значит,
.
Y
z M
Следовательно,
X
Y
M M
. (4)
Из условий (3) и (4) следует равенство
,
X Y
M M
что и требова-
лось доказать.
Теперь можно воспользоваться следующей теоремой [9]: если от-
ношение
А
на множестве
М
обладает свойствами рефлексивности,
симметричности и транзитивности, то существует разбиение {
1
M
,
2
M
, …,
n
M
} этого множества такое, что отношение
хАу
выполнено
тогда и только тогда, когда
х
и
у
принадлежат одному и тому же
классу разбиения.
Разбиение множества
М
определяется как система (конечная или
бесконечная) непустых подмножеств множества
М
, обладающая
свойствами:
а) покрытия множества
М
:
1
2
3
... ;
M M M M
(5)
б) отделимости множеств
i
M
и
j
M
:
.
i
j
M M i j
Пусть при выделении классов объектов из множества
М
исполь-
зуются дихотомические признаки:
1
p
— объект принадлежит подмножеству (классу)
1
M
;
2
p
— объект не принадлежит подмножеству (классу)
1
M
(отно-
сится к подмножеству (классу)
2
M
).
В силу доказанной леммы образованные с помощью этих двух
признаков классы подмножеств
1
M
и
2
M
множества
М
не пересека-
ются
1
2
(
)
M M
.