для исследования качественных особенностей процесса теплопровод-
ности, а также для тестирования и отладки вычислительных алгорит-
мов. Целью настоящей работы является поиск таких решений.
Постановка задачи теплопроводности для растущего шара.
Рас-
сматривается шар радиуса
R
0
,
состоящий из однородного изотропно-
го линейно-упругого материала, который характеризуется коэффици-
ентом теплопроводности
λ
,
плотностью
ρ
и теплопроводностью при
постоянных деформациях
c
ε
.
Распределение температуры в началь-
ный момент времени известно и удовлетворяет условию централь-
ной симметрии. Пусть в начальный момент времени к поверхности
шара начинают присоединяться сферические слои вещества постоян-
ной толщины, имеющие температуру
1
T
e
.
Дополнительный материал
свободен от напряжений и идентичен основному телу. В результате
присоединения вещества радиус шара изменяется по известному за-
кону
R
(
t
)
,
где
t
—
рассматриваемый момент времени. Предполагается
отсутствие теплообмена между шаром и окружающей средой после
завершения роста.
Введем сферическую систему координат, начало которой совпадает
с центром шара. Каждой точке будет соответствовать тройка коорди-
нат (
r
,
θ
,
ϕ
).
В силу центральной симметрии задачи температурное
поле будем описывать дважды дифференцируемой по каждому аргу-
менту функцией
T
(
r, t
)
.
Поле температур удовлетворяет уравнению
теплопроводности, которое в сферической системе координат с уче-
том центральной симметрии будет выглядеть следующим образом [7]:
∂T
∂t
=
a
2
1
r
2
∂
∂r
r
2
∂T
∂r
,
где
a
=
s
λ
c
ε
ρ
.
(1)
Соответствующее начальное условие будет иметь вид
T
(
r, t
)
|
t
=0
=
T
0
(
r
)
,
(2)
где
T
0
(
r
)
—
функция, характеризующая начальное распределение тем-
пературы в шаре.
Будем полагать, что в процессе роста температура на растущей
поверхности будет равна температуре присоединяемых слоев
2
.
Это
позволяет записать граничное условие на внешней поверхности в виде
T
(
r, t
)
|
r
=
a
(
t
)
=
T
(
e
)
.
(3)
1
Здесь и далее под температурой понимается избыточная температура.
2
В общем случае температура на поверхности роста будет равна некоторой эф-
фективной температуре, которая отличается как от температуры присоединяемых
слоев, так и от средней температуры вблизи поверхности основного тела. Однако
при определенных условиях (например, если рост происходит в среде с большой
теплоемкостью) все эти три температуры приблизительно равны.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
131