УДК 539.3
А. В. М а н ж и р о в, С. А. Л ы ч е в,
С. И. К у з н е ц о в, И. Ф е д о т о в
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В РАСТУЩЕМ ШАРЕ
Работа посвящена исследованию эволюции температурного поля в
растущем шаре. Определяется закон движения растущей поверх-
ности, при котором решение начально-краевой задачи теплопро-
водности может быть представлено в замкнутом виде. Строит-
ся спектр линейного дифференциального оператора, порождаемо-
го задачей.
E-mail:
manzh@ipmnet.ru
,
lychevsa@mail.ru
,
k_s_i@bk.ru
Ключевые слова
:
растущее тело, теплопроводность, шар, собственные
функции, разложение, замкнутое решение.
Некоторые природные явления и технологические процессы, такие
как кристаллизация, электролитическое осаждение, лазерное напыле-
ние, формирование осадочных пород, сопровождается увеличением
массы твердых тел за счет присоединения к их поверхности дополни-
тельного материала. Изучением объектов, рост которых осуществля-
ется посредством притока вещества извне, занимается механика ра-
стущих тел (см., например, [1–5]).
В рамках данной теории уже проводились исследование темпе-
ратурного поля растущего сплошного и полого шара [6]. В этой ра-
боте при построении аналитического решения авторы пренебрегают
членом, содержащим скорость движения подвижной границы. При
достаточно малых скоростях поверхности роста полученное решение
обеспечивает достаточно высокую точность. В общем случае, когда за-
кон движения растущей поверхности определяется технологическим
процессом, не удается представить решение начально-краевой задачи
в замкнутой форме.
В той же работе предложен метод, позволяющий свести исходную
начально-краевую задачу теплопроводности к задаче Коши для беско-
нечной связанной системы обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, которая решается приближенными методами. Однако для оценки
параметров счета, обеспечивающих требуемую точность и качествен-
ное соответствие численного решения аналитическому, необходима
отладка вычислительного алгоритма на известных точных решениях.
При определенных режимах роста задача Коши для связанной си-
стемы вырождается в последовательность несвязанных обыкновенных
дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями.
Это позволяет построить распределение температуры в растущем ша-
ре в замкнутой форме. Полученные решения могут быть использованы
130
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012