Чтобы начально-краевая задача теплопроводности имела единствен-
ное решение, следует дополнить уравнения (1)—(3) условием ограни-
ченности температуры в центре шара.
Построение решения в форме спектрального разложения.
Для
построения решения в форме спектрального разложения необходимо
привести задачу (1)—(3) к виду, в котором краевые условия оказались
бы однородными. С этой целью вводятся безразмерные переменные
ˆ
r
и
ˆ
t
,
безразмерная температура
Θ
и параметр, характеризующий дви-
жение границы шара
ξ
,
определяемые следующим образом:
ˆ
r
=
r
R
0
,
ˆ
t
=
a
2
t
R
2
0
,
Θ =
T
−
T
(
e
)
T
(
e
)
,
ξ
(
ˆ
t
)
=
R
R
2
0
ˆ
t
a
2
R
0
,
(4)
где
R
0
—
радиус шара в начальный момент времени. Уравнения (1)—(3)
в новых переменных (4) будут иметь следующий вид:
∂
Θ
∂
ˆ
t
=
1
ˆ
r
2
∂
∂
ˆ
r
ˆ
r
2
∂
Θ
∂
ˆ
r
,
Θ(ˆ
r,
ˆ
t
)
ˆ
t
=0
= Θ
0
(
ˆ
r
)
,
Θ(ˆ
r,
ˆ
t
)
r
=
ξ
(
ˆ
t
)
= 0
,
(5)
где
Θ
0
(
ˆ
r
)
=
T
0
(
ˆ
r
)
−
T
(
e
)
T
(
e
)
—
распределение безразмерной температуры в начальный момент вре-
мени.
Особенностью постановки (5) является то, что поверхность рас-
сматриваемой области является подвижной. Для перехода к фиксиро-
ванной области перейдем к новым переменным:
˜
t
= ˆ
t,
˜
r
=
ˆ
r
ξ
(
ˆ
t
)
.
Задача (5) в переменных
(
˜
r,
˜
t
)
принимает вид
∂
Θ
∂
˜
t
=
˜
r
ξ
(
˜
t
)
dξ
(
˜
t
)
d
˜
t
∂
Θ
∂
˜
r
+
1
˜
r
2
∂
∂
˜
r
˜
r
2
∂
Θ
∂
˜
r
1
ξ
2
(
˜
t
)
,
(6)
Θ(˜
r,
˜
t
)
˜
t
=0
= Θ
0
(
˜
r
)
,
Θ(˜
r,
˜
t
)
˜
r
=1
= 0
.
(7)
Уравнение (6) в общем случае не допускает разделения перемен-
ных. Однако при выполнении выполнении условия
ξ
(
˜
t
)
dξ
(
˜
t
)
d
˜
t
=
β
2
,
β
=
const
(8)
разделение переменных возможно, что позволяет строить решение за-
дачи в форме разложения по собственным функциям. При этом функ-
ция
ξ
(
˜
t
)
с учетом условия (8) и замены (4) имеет вид
ξ
(
˜
t
)
=
q
1
+
β
˜
t,
132
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012