Обратим внимание читателя на то, что уравнение (3) очень похоже
на уравнение теплопроводности, только коэффициент при второй про-
изводной по пространственной переменной отрицателен, т.е. по сути,
имеем обратное во времени уравнение теплопроводности. Ничего уди-
вительного в этом нет. Уравнение теплопроводности описывает рас-
пространение энергии из данного источника по всему пространству,
здесь же, наоборот, “энергия” собирается в центре. То есть рассматри-
вается процесс, обратный распространению теплоты, поэтому вполне
естественно, что, как вариант, он может быть описан обратным во
времени уравнением теплопроводности.
Изучим
стационарные
решения последнего уравнения. Почему
именно стационарные? Как мы видели из графика, указанная экспо-
ненциальная зависимость размера от ранга имеет место в отдельно
взятые годы, более того, характер зависимости остается таким же для
разных лет. Поэтому имеет смысл говорить о
стационарном
распре-
делении душевого ВВП страны.
Имеем при
∂u
∂t
= 0
:
0
=
ku
−
cu
00
,
u
00
−
λ
2
u
= 0
,
где
λ
2
=
k
c
.
Последнее уравнение – линейное с постоянными коэффициентами,
решается особенно просто:
u
(
x
)
=
C
1
e
−
λx
+
C
2
e
λx
.
Константы
C
1
,
C
2
найдем из граничных условий, вытекающих из
предположений о непрерывности в нуле и конечности суммарной ве-
личины
u
(
т.е. конечности интеграла
+
∞
Z
0
u
(
x
)
dx
,
что соответствует ко-
нечности энергии):
u
(0)
=
u
0
,
u
(
+
∞
)
= 0
.
Тогда получим:
u
(
x
)
=
u
0
e
−
λx
,
где
x
—
ранг агента, или
ln
u
(
x
)
=
−
λx
+ ln
u
0
.
Это и означает равномерность распределения логарифма нашей ха-
рактеристики
u
.
Уравнение (3), как известно, некорректно: при изменении началь-
ного профиля решение может за конечное время уйти в бесконечность.
Связано это существенным образом с локальностью взаимодействия
агентов. Следовательно, если ввести некоторую нелокальность в нашу
систему, то проблема неустойчивости задачи может быть обойдена.
Иначе говоря, радиус взаимодействия агентов должен быть больше
единицы.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
113